Основы теории линейных систем автоматического управления. Артамонов Д.В - 80 стр.

                                             80

        Решая эту систему можно найти xi . Известно, что нетривиальное реше-
ние такой системы будет при условии равенство нулю главного определителя
системы

                  a11 − λ 1      a12              a13      K      a1n
                      a21     a22 − λ 2           a23      K      a2n
                      a31       a32          a33 − λ 3 K          a3 n    =0
                                                                                   (3.11)
                      K         K               K      K          K
                      an1       an 2              an3      K ann − λ n
        Это и будет характеристическое уравнение системы, a λ 1 , λ 2 ,.... λ n явля-
ются корнями характеристического уравнения.
        Получив характеристическое уравнение системы можно определить устой-
чивость по корням этого уравнения. Для этого запишем общее решение системы
(3.8)
                                                   n
                                       X CB i = ∑ Ci e λ i t .
                                                  i =1
        Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы

                                         lim X CB = 0 .
                                         t →∞

        Это условие     выполняется      в        случае , если   все    корни характери-
стического уравнения будут        "левыми",        т.е.   будут иметь отрицательные дей-
ствительные части и располагаться слева от мнимой оси комплексной плоскости.
        Непосредственное применение необходимого и достаточного условия, тре-
бующее решение характеристического уравнения, просто лишь для систем перво-
го и второго порядков, менее удобно в случае третьего и четвертого порядков,
а для систем более высоких порядков является довольно трудоемкой задачей. Од-
нако, чтобы судить о том, удовлетворяет ли линейная система необходимому и
достаточному условию устойчивости, нет надобности находить корни характе-