Основы теории линейных систем автоматического управления. Артамонов Д.В - 84 стр.

                                                                  84

                                                                                      π
         Очевидно, что вектор jω − pk повернется на угол                                  + q , где q- показан-
                                                                                      2
ный на рис. 3.2 угол между вектором Pk и отрицательным направлением оси абс-
                                                                                           π
цисс. Вектор jω − pk +1 повернется в том же случае на угол                                     − q . Эти поворо-
                                                                                           2
ты рассматриваемых векторов изменяют аргумент характеристического вектора
на угол
                                                           π           π
                                                               +q+           −q =π,
                                                           2           2
так что при изменении частоты                          ω от 0 до бесконечности на каждый корень
                                                                    π
приходится изменение аргумента на угол                                   .
                                                                     2
         То же самое будет и в случае вещественных корней, для которых q=0, за
                                                               исключением нулевых корней, которые не
                                          ω   ω    k
       pk                          jω − p k   ω                вызывают изменение аргумента характери-
                                              jω
                          q                                    стического вектора. Чисто мнимые корни из-
  sk                                                   S
                                                               меняют аргумент характеристического век-
         jω − p k + 1
                                                               тора так, что при изменение частоты в ука-
       pk+1                                   -ω k
                                                               занных пределах положительный корень да-
                        Рис. 3.2                               ет +π , а отрицательный - 0. Таким образом,
                                                               на каждый корень приходится изменение ар-
                          π
гумента на угол               , но знак этого изменения оказывается неопределенным.
                          2
         Положим теперь, что S k>0, так что необходимое и достаточное условие
устойчивости не удовлетворяется. Нетрудно убедится, что в этом случае при
изменении частоты в тех же пределах на каждый корень будет приходиться из-
                                                                                           π
менение аргумента характеристического вектора, равное −                                         за исключением
                                                                                           2
нулевых и чисто мнимых корней.