Основы теории линейных систем автоматического управления. Артамонов Д.В - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

94
0
0
0
12
21 22
2
22 12 21
−
−
=
−− =
λ
λ
λλ
a
aa
aaa
;
.
Пусть
λ
λ
12
≠ , тогда введением новых переменных
xAx Bx
yCx Dx
=
+
=+
12
12
;
,
где A, B, C и D можно найти решая систему:
() ;
();
() ;
().
00
0
00
0
221
12 22 2
121
12 22 1
−+=
+− =
−+=
+− =
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
λ
λ
λ
λ
AaB
aA a B
CaD
aC a D
Заменой переменных систему уравнений (3.27) можно привести к сле-
дующему дифференциальному уравнению:
dy
dx
y
x
=
λ
λ
1
2
.
Решение, которого будет иметь вид:
yCx=
0
1
2
λ
λ
(3.28)
Если
λ
λ
λ
12
=
= , то посредством замены
xax
a
x
yx
=+
=
21 1
22
2
2
2
;
.
исходная система приводится к виду:
dy
dx
xy
x
=
+
λ
λ
. (3.29)
Решение этого уравнения будет выглядеть:
yxxCx=+
1
0
λ
ln ; (3.30)
Особыми точками таких уравнений являются точки в которых произ-
водная неопределенна, т. е. имеет место деление ноль на ноль. 
                                         94

                                0−λ           a12
                                                       = 0;
                                 a 21     a 22 − λ
                                λ2 − a 22 λ − a12 a 21 = 0.
     Пусть λ 1 ≠ λ 2 , тогда введением новых переменных
                                     x = Ax1 + Bx 2 ;
                                     y = Cx1 + Dx 2 ,
     где A, B, C и D можно найти решая систему:
                               ⎧ ( 0 − λ 2 ) A + a 21 B = 0;
                               ⎪a A + ( a − λ ) B = 0;
                               ⎪ 12           22      2
                               ⎨
                               ⎪ ( 0 − λ 1 ) C + a 21 D = 0;
                               ⎪⎩ a 12 C + ( a 22 − λ 1 ) D = 0.

        Заменой переменных систему уравнений (3.27) можно привести к сле-
дующему дифференциальному уравнению:
                                         dy λ 1 y
                                           =      .
                                         dx λ 2 x
        Решение, которого будет иметь вид:
                                                         λ1
                                             y = C0 x λ 2           (3.28)

        Если λ 1 = λ 2 = λ , то посредством замены
                                                   a 22
                                   x = a 21 x1 +        x2 ;
                                                     2
                                             y = x2 .
     исходная система приводится к виду:
                                             dy x + λy
                                                =      .            (3.29)
                                             dx   λx
        Решение этого уравнения будет выглядеть:
                                             1
                                        y=       x ln x + C0 x;     (3.30)
                                             λ
        Особыми точками таких уравнений являются точки в которых произ-
водная неопределенна, т. е. имеет место деление ноль на ноль.

Страницы