Математические методы в биологии. Артюхов В.Г - 11 стр.

UptoLike

Рубрика: 

3.3. ɇɈɊɆȺɅɖɇɈȿ ɊȺɋɉɊȿȾȿɅȿɇɂȿ
ɋɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ
Ʉɚɤ ɛɵɥɨ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɜɵɲɟ, ɜɚɪɶɢɪɭɸɳɢɟ ɩɪɢɡɧɚɤɢ ɜ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɟ ɪɚɫ-
ɫɦɚɬɪɢɜɚɸɬ ɤɚɤ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ, ɫɩɨɫɨɛɧɵɟ ɜ ɨɞɧɢɯ ɢ
ɬɟɯ ɠɟ ɭɫɥɨɜɢɹɯ ɢɫɩɵɬɚɧɢɹ ɩɪɢɧɢɦɚɬɶ ɪɚɡɥɢɱɧɵɟ ɱɢɫɥɨɜɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ, ɤɨ-
ɬɨɪɵɟ ɡɚɪɚɧɟɟ ɧɟɜɨɡɦɨɠɧɨ ɩɪɟɞɫɤɚɡɚɬɶ. ɋɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɞɟɥɹɬ ɧɚ
ɞɢɫɤɪɟɬɧɵɟ ɢ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɵɟ. ɋɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɣ,
ɟɫɥɢ ɨɧɚ ɦɨɠɟɬ ɩɪɢɧɢɦɚɬɶ ɬɨɥɶɤɨ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɟ ɮɢɤɫɢɪɨɜɚɧɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ,
ɤɨɬɨɪɵɟ ɨɛɵɱɧɨ ɜɵɪɚɠɚɸɬɫɹ ɰɟɥɵɦɢ ɱɢɫɥɚɦɢ. ȿɫɥɢ ɠɟ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢ-
ɧɚ ɫɩɨɫɨɛɧɚ ɩɪɢɧɢɦɚɬɶ ɥɸɛɵɟ ɱɢɫɥɨɜɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ, ɨɧɚ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɧɟɩɪɟ-
ɪɵɜɧɨɣ. Ɉɱɟɜɢɞɧɨ, ɱɬɨ ɫɱɟɬɧɵɟ ɩɪɢɡɧɚɤɢ ɨɬɧɨɫɹɬɫɹ ɤ ɞɢɫɤɪɟɬɧɵɦ ɫɥɭɱɚɣ-
ɧɵɦ ɜɟɥɢɱɢɧɚɦ, ɬɨɝɞɚ ɤɚɤ ɩɪɢɡɧɚɤɢ ɦɟɪɧɵɟ, ɜɚɪɶɢɪɭɸɳɢɟ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨ,
ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚɦɢ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɵɦɢ.
ɋɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɏ ɜ ɫɟɪɢɢ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɯ ɩɨɜɬɨɪɧɵɯ ɢɫɩɵɬɚɧɢɣ
ɦɨɠɟɬ ɩɪɢɧɢɦɚɬɶ ɫɚɦɵɟ ɪɚɡɥɢɱɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ, ɧɨ ɜ ɤɚɠɞɨɦ ɨɬɞɟɥɶɧɨɦ ɢɫ-
ɩɵɬɚɧɢɢ ɨɧɚ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɟ ɢɡ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ x
i
.
Ɂɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ
Ɏɭɧɤɰɢɹ f(ɯ), ɫɜɹɡɵɜɚɸɳɚɹ ɡɧɚɱɟɧɢɹ x
i
ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢ-
ɱɢɧɵ ɯ ɫ ɢɯ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɹɦɢ p
i
, ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɡɚɤɨɧɨɦ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɷɬɨɣ ɜɟ-
ɥɢɱɢɧɵ. Ɂɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɦɨɠɧɨ ɡɚɞɚɬɶ ɬɚɛɥɢɱɧɨ,
ɜɵɪɚɡɢɬɶ ɝɪɚɮɢɱɟɫɤɢ ɜ ɜɢɞɟ ɤɪɢɜɨɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɢ ɨɩɢɫɚɬɶ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸ-
ɳɟɣ ɮɨɪɦɭɥɨɣ. ȼ ɨɬɧɨɲɟɧɢɢ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɪɟɱɶ ɦɨ-
ɠɟɬ ɢɞɬɢ ɥɢɲɶ ɨ ɬɟɯ ɡɧɚɱɟɧɢɹɯ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɨɧɚ ɫɩɨɫɨɛɧɚ ɩɪɢɧɹɬɶ ɫ ɬɨɣ ɢɥɢ
ɢɧɨɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶɸ ɜ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ ɨɬ ɢ ɞɨ. ɗɬɨɬ ɢɧɬɟɪɜɚɥ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɤɚɤɢɦ
ɭɝɨɞɧɨ: ɢ ɛɨɥɶɲɢɦ, ɢ ɦɚɥɵɦ. ȼɵɞɚɸɳɢɟɫɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢȺ. Ɇɭɚɜɪ (1733),
ɂ. Ƚ. Ʌɚɦɛɟɪɬ (1765), ɉ. Ʌɚɩɥɚɫ (1795) ɢɄ. Ƚɚɭɫɫ (1821) – ɭɫɬɚɧɨɜɢɥɢ, ɱɬɨ
ɨɱɟɧɶ ɱɚɫɬɨ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ Ɋ ɥɸɛɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹ x
i
ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɹɸ-
ɳɟɣɫɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɯ ɧɚɯɨɞɢɬɫɹ ɜ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ ɨɬ ɯ ɞɨ ɯ + dɯ ɢɜɵɪɚ-
ɠɚɟɬɫɹ ɮɨɪɦɭɥɨɣ
P(X) =
2
1( ȝ)
2
1
ı 2ʌ
x
e
V
dx,
(6)
ɝɞɟ dɯɦɚɥɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ, ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɳɚɹ ɲɢɪɢɧɭ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ;
S ɢɟɦɚɬɟ-
ɦɚɬɢɱɟɫɤɢɟ ɤɨɧɫɬɚɧɬɵ (
Sɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɞɥɢɧɵ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ ɤ ɟɟ ɞɢɚɦɟɬɪɭ,
ɪɚɜɧɨɟ 3,1416...; e = 2,7183 – ɨɫɧɨɜɚɧɢɟ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɥɨɝɚɪɢɮɦɨɜ);
V
ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ, ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɸɳɟɟ ɫɬɟɩɟɧɶ ɪɚɫɫɟɹɧɢɹ ɡɧɚɱɟɧɢɣ x
i
ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ ɜɨɤɪɭɝ ɫɪɟɞɧɟɣ
P. ȼ ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɶ ɫɬɟɩɟɧɢ ɱɢɫɥɚ ɟ
ɜɯɨɞɢɬ ɧɨɪɦɢɪɨɜɚɧɧɨɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ t = (x
i
P)/Vɜɟɥɢɱɢɧɚ, ɢɝɪɚɸɳɚɹ
ɜɚɠɧɭɸ ɪɨɥɶ ɜ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɢ ɫɜɨɣɫɬɜ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ, ɨɩɢɫɵ-
ɜɚɟɦɨɝɨ ɮɨɪɦɭɥɨɣ (6).
Ʉɚɤ ɜɢɞɧɨ ɢɡ ɷɬɨɣ ɮɨɪɦɭɥɵ, ɡɚɤɨɧ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ
(ɧɨɪɦɚɥɶɧɵɣ ɡɚɤɨɧ) ɜɵɪɚɠɚɟɬ ɮɭɧɤɰɢɨɧɚɥɶɧɭɸ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɦɟɠɞɭ ɜɟɪɨ-
11
      3.3. ���������� �������������
      ��������� ��������
      ��� ���� �������� ����, ����������� �������� � ���������� ���-
���������� ��� ���������� ��������� ��������, ��������� � ����� �
��� �� �������� ��������� ��������� ��������� �������� ��������, ��-
����� ������� ���������� �����������. ��������� �������� ����� ��
���������� � �����������. ��������� �������� ���������� ����������,
���� ��� ����� ��������� ������ ������������ ������������� ��������,
������� ������ ���������� ������ �������. ���� �� ��������� ������-
�� �������� ��������� ����� �������� ��������, ��� ���������� �����-
������. ��������, ��� ������� �������� ��������� � ���������� ������-
��� ���������, ����� ��� �������� ������, ����������� ����������,
�������� ���������� ������������.
      ��������� �������� � � ����� ����������� ��������� ���������
����� ��������� ����� ��������� ��������, �� � ������ ��������� ��-
������� ��� ��������� ������������ �� ��������� �������� xi.

      ����� ������������� ��������� �������
      ������� f(�), ����������� �������� xi ���������� ��������� ����-
���� � � �� ������������� pi, ���������� ������� ������������� ���� ��-
������. ����� ������������� ��������� �������� ����� ������ ��������,
�������� ���������� � ���� ������ ����������� � ������� ������������-
��� ��������. � ��������� ����������� ��������� �������� ���� ��-
��� ���� ���� � ��� ���������, ������� ��� �������� ������� � ��� ���
���� ������������ � ��������� �� � ��. ���� �������� ����� ���� �����
������: � �������, � �����. ���������� ���������� – �. ����� (1733),
�. �. ������� (1765), �. ������ (1795) � �. ����� (1821) – ����������, ���
����� ����� ����������� � ������ �������� xi ���������� �����������-
����� ��������� �������� � ��������� � ��������� �� � �� � + d� � ����-
������ ��������
                                    1 ( x �� ) 2
                              1   �
                                                                       (6)
                     P(X) =      e 2 � dx,
                            � 2�
 ��� d� – ����� ��������, ������������ ������ ���������; � � � – ����-
���������� ��������� (� – ��������� ����� ���������� � �� ��������,
������ 3,1416...; e = 2,7183 – ��������� ����������� ����������); � –
����������� ����������, ��������������� ������� ��������� �������� xi
��������� �������� � ������ ������� �. � ���������� ������� ����� �
������ ������������� ���������� t = (xi – �)/� – ��������, ��������
������ ���� � ������������ ������� ����������� �������������, �����-
������� �������� (6).
      ��� ����� �� ���� �������, ����� ����������� �������������
(���������� �����) �������� �������������� ����������� ����� ����-
                                     11