Математические методы в биологии. Артюхов В.Г - 13 стр.

UptoLike

Рубрика: 

ɉɪɢɦɟɪ 2. ȼ ɪɨɞɞɨɦɟ ɨɠɢɞɚɟɬɫɹ ɪɨɠɞɟɧɢɟ ɩɹɬɢ ɞɟɬɟɣ. Ʉɚɤɨɜɚ ɜɟɪɨ-
ɹɬɧɨɫɬɶ ɩɨɹɜɥɟɧɢɹ 0, 1, 2, 3, 4, 5 ɦɚɥɶɱɢɤɨɜ ɜ ɱɢɫɥɟ ɩɹɬɢ ɧɨɜɨɪɨɠɞɟɧɧɵɯ?
Ɇɨɠɧɨ ɩɨɤɚɡɚɬɶ, ɱɬɨ ɜɨɡɦɨɠɧɚ ɫɟɪɢɹ ɢɡ ɩɹɬɢ (n = 5) ɩɨɜɬɨɪɧɵɯ ɧɚɛɥɸɞɟ-
ɧɢɣ ɫ ɞɜɭɦɹ ɢɫɯɨɞɚɦɢ. ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɩɨɹɜɥɟɧɢɟ ɦɚɥɶɱɢɤɨɜ (ɫɨɛɵɬɢɟ A) ɦɨɠɟɬ
ɢɦɟɬɶ ɜ ɫɟɪɢɢ ɪɚɡɥɢɱɧɨɟ ɱɢɫɥɨɜɨɟ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ k ɨɬ 0 ɞɨ 5, ɤɚɤ ɢ ɩɪɨɬɢɜɨɩɨ-
ɥɨɠɧɨɟ ɫɨɛɵɬɢɟ
_
A
(ɩɨɹɜɥɟɧɢɟ ɞɟɜɨɱɟɤ). ȼ ɤɚɠɞɨɦ ɢɫɩɵɬɚɧɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ
ɩɨɹɜɥɟɧɢɹ ɫɨɛɵɬɢɹ A(p) ɢɥɢ ɛɭɞɟɬ ɨɞɢɧɚɤɨɜɨɣ ɢ ɪɚɜɧɨɣ 0,5. ȼɟɪɨɹɬ-
ɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɜ «ɩɹɬɟɪɤɟ» ɧɟ ɛɭɞɟɬ ɧɢ ɨɞɧɨɝɨ ɦɚɥɶɱɢɤɚ, ɫɨɫɬɚɜɢɬ
P
(q)A
_
5
(0) =
5!
0! 5!
(0,5)
0
.
(0,5)
5
= 1
.
1
.
0,03125 = 0,03125. ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ,
ɱɬɨ ɜ «ɩɹɬɟɪɤɟ» ɨɤɚɠɟɬɫɹ ɨɞɢɧ ɦɚɥɶɱɢɤ, ɫɨɫɬɚɜɢɬ Ɋ (1) =
5
5!
1! 4!
.
(0,5)
1
.
(0,5)
4
=
=
120
124
(0,5)
.
0,0625 = 0,15625.
Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɦ: P
5
(2) = 10 (0,25) (0,125) = 0,3125;
P
5
(3) = 0,3125; P
5
(4) = 0,15625; P
5
(5) = 0,03125. Ʌɟɝɤɨ ɭɛɟɞɢɬɶɫɹ, ɱɬɨ
= 1. Ɍɨɱɧɨ ɬɚɤ ɠɟ ɦɨɠɧɨ ɜɵɱɢɫɥɢɬɶ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɨɫɭɳɟɫɬɜɥɟɧɢɹ k
ɥɸɛɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ ɜ n ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɯ ɢɫɩɵɬɚɧɢɹɯ ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ ɩɨɫɬɨɹɧɫɬɜɚ ɜɟ-
ɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɩɨɹɜɥɟɧɢɹ ɫɨɛɵɬɢɹ (P
Pk
n
k
n
()
¦
0
n
(A)). ɋɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɶ ɷɬɢɯ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ
Ɋ
n
(0), Ɋ
n
(1), ..., Ɋ
n
(k)ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɛɢɧɨɦɢɚɥɶɧɵɦ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟɦ.
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɡɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢ-
ɧɵ ɦɨɠɟɬ ɜɵɪɚɠɚɬɶɫɹ ɜ ɜɢɞɟ ɛɢɧɨɦɢɚɥɶɧɨɣ ɤɪɢɜɨɣ ɢ ɨɩɢɫɵɜɚɬɶɫɹ ɮɨɪɦɭ-
ɥɨɣ Ȼɟɪɧɭɥɥɢ, ɤɨɬɨɪɚɹ ɩɨɡɜɨɥɹɟɬ ɧɚɯɨɞɢɬɶ ɜɟɪɨɹɬɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɷɬɨɣ ɜɟɥɢ-
ɱɢɧɵ ɜ ɫɟɪɢɢ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɯ ɢɫɩɵɬɚɧɢɣ.
ȽɅȺȼȺ 4. ȼɕȻɈɊɈɑɇɕɃ ɆȿɌɈȾ ɂ ɈɐȿɇɄȺ
ȽȿɇȿɊȺɅɖɇɕɏ ɉȺɊȺɆȿɌɊɈȼ
4.1. ȽȿɇȿɊȺɅɖɇȺə ɋɈȼɈɄɍɉɇɈɋɌɖ ɂ ȼɕȻɈɊɄȺ
ɇɚɛɥɸɞɟɧɢɹ ɧɚɞ ɛɢɨɥɨɝɢɱɟɫɤɢɦɢ ɨɛɴɟɤɬɚɦɢ ɦɨɝɭɬ ɨɯɜɚɬɵɜɚɬɶ ɜɫɟ
ɱɥɟɧɵ ɢɡɭɱɚɟɦɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ ɛɟɡ ɟɞɢɧɨɝɨ ɢɫɤɥɸɱɟɧɢɹ ɢɥɢ ɨɝɪɚɧɢɱɢ-
ɜɚɬɶɫɹ ɨɛɫɥɟɞɨɜɚɧɢɟɦ ɥɢɲɶ ɧɟɤɨɬɨɪɨɣ ɱɚɫɬɢ ɱɥɟɧɨɜ ɞɚɧɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ.
ȼ ɩɟɪɜɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɹ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɩɨɥɧɵɦɢ ɢɥɢ ɫɩɥɨɲɧɵɦɢ, ɜɨ ɜɬɨ-
ɪɨɦɱɚɫɬɢɱɧɵɦɢ ɢɥɢ ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɦɢ. ɉɨɥɧɨɟ ɨɛɫɥɟɞɨɜɚɧɢɟ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ
ɩɨɡɜɨɥɹɟɬ ɩɨɥɭɱɚɬɶ ɢɫɱɟɪɩɵɜɚɸɳɭɸ ɢɧɮɨɪɦɚɰɢɸ ɨɛ ɢɡɭɱɚɟɦɨɦ ɨɛɴɟɤɬɟ,
ɜ ɱɟɦ ɢ ɡɚɤɥɸɱɚɟɬɫɹ ɩɪɟɢɦɭɳɟɫɬɜɨ ɷɬɨɝɨ ɫɩɨɫɨɛɚ ɩɟɪɟɞ ɫɩɨɫɨɛɨɦ ɜɵɛɨ-
ɪɨɱɧɨɝɨ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɹ. Ɉɞɧɚɤɨ ɤ ɫɩɥɨɲɧɨɦɭ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɸ ɩɪɢɛɟɝɚɸɬ ɪɟɞɤɨ,
ɬɚɤ ɤɚɤ ɷɬɚ ɪɚɛɨɬɚ ɫɨɩɪɹɠɟɧɚ ɫ ɛɨɥɶɲɢɦɢ ɡɚɬɪɚɬɚɦɢ ɜɪɟɦɟɧɢ ɢ ɬɪɭɞɚ, ɚ
ɬɚɤɠɟ ɜ ɫɢɥɭ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɨɣ ɧɟɜɨɡɦɨɠɧɨɫɬɢ ɢɥɢ ɧɟɰɟɥɟɫɨɨɛɪɚɡɧɨɫɬɢ ɩɪɨɜɟ-
13
      ������ 2. � ������� ��������� �������� ���� �����. ������ ����-
������� ��������� 0, 1, 2, 3, 4, 5 ��������� � ����� ���� �������������?
����� ��������, ��� �������� ����� �� ���� (n = 5) ��������� �������-
��� � ����� ��������. ��� ���� ��������� ��������� (������� A) �����
����� � ����� ��������� �������� ��������� k �� 0 �� 5, ��� � ���������-
                    _
������ ������� A (��������� �������). � ������ ��������� �����������
                                  _
��������� ������� A(p) ��� A (q) ����� ���������� � ������ 0,5. ������-
����� ����, ��� � «�������» �� ����� �� ������ ��������, ��������
            5!
P5(0) =           � (0,5)0 . (0,5)5 = 1 . 1 . 0,03125 = 0,03125. ����������� ����,
          0! � 5!
                                                                 5! .
��� � «�������» �������� ���� �������, �������� �5(1) =                (0,5)1 . (0,5)4 =
                                                               1! � 4!
   120
=        � (0,5) . 0,0625 = 0,15625.
  1 � 24
       ���������� ����������: P5(2) = 10 (0,25) (0,125) = 0,3125;
P5(3) = 0,3125; P5(4) = 0,15625; P5(5) = 0,03125. ����� ���������, ���
 n

� P (k )
k �0
       n    = 1. ����� ��� �� ����� ��������� ����������� ������������� k
����� ������� � n ����������� ���������� ��� ������� ����������� ��-
��������� ��������� ������� (Pn(A)). ������������ ���� ������������ –
�n(0), �n(1), ..., �n(k) – ���������� ������������ ��������������.
       ����� �������, ����� ������������� ���������� ��������� ������-
�� ����� ���������� � ���� ������������ ������ � ����������� �����-
��� ��������, ������� ��������� �������� ��������� �������� ���� ����-
���� � ����� ����������� ���������.

           ����� 4. ���������� ����� � ������
           ����������� ����������

      4.1. ����������� ������������ � �������
      ���������� ��� �������������� ��������� ����� ���������� ���
����� ��������� ������������ ��� ������� ���������� ��� ��������-
������ ������������� ���� ��������� ����� ������ ������ ������������.
� ������ ������ ���������� �������� ������� ��� ���������, �� ���-
��� – ���������� ��� �����������. ������ ������������ ������������
��������� �������� ������������� ���������� �� ��������� �������,
� ��� � ����������� ������������ ����� ������� ����� �������� ����-
������� ����������. ������ � ��������� ���������� ��������� �����,
��� ��� ��� ������ ��������� � �������� ��������� ������� � �����, �
����� � ���� ������������ ������������� ��� ������������������ �����-

                                            13