Математические методы в биологии. Артюхов В.Г - 12 стр.

UptoLike

Рубрика: 

ɹɬɧɨɫɬɶɸ Ɋ(ɏ) ɢ ɧɨɪɦɢɪɨɜɚɧɧɵɦ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟɦ t. Ɉɧ ɭɬɜɟɪɠɞɚɟɬ, ɱɬɨ ɜɟɪɨ-
ɹɬɧɨɫɬɶ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɹ ɥɸɛɨɣ ɜɚɪɢɚɧɬɵ x
i
ɨɬ ɰɟɧɬɪɚ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ P, ɝɞɟ x
i
P = 0, ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɮɭɧɤɰɢɟɣ ɧɨɪɦɢɪɨɜɚɧɧɨɝɨ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɹ t. Ƚɪɚɮɢɱɟɫɤɢ
ɷɬɚ ɮɭɧɤɰɢɹ ɜɵɪɚɠɚɟɬɫɹ ɜ ɜɢɞɟ ɤɪɢɜɨɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ, ɧɚɡɵɜɚɟɦɨɣ ɧɨɪɦɚɥɶ-
ɧɨɣ ɤɪɢɜɨɣ. Ɏɨɪɦɚ ɢ ɩɨɥɨɠɟɧɢɟ ɷɬɨɣ ɤɪɢɜɨɣ ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬɫɹ ɬɨɥɶɤɨ ɞɜɭɦɹ
ɩɚɪɚɦɟɬɪɚɦɢ:
P ɢ V. ɉɪɢ ɢɡɦɟɧɟɧɢɢ ɜɟɥɢɱɢɧɵ P ɮɨɪɦɚ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɣ ɤɪɢɜɨɣ
ɧɟ ɦɟɧɹɟɬɫɹ, ɥɢɲɶ ɝɪɚɮɢɤ ɟɟ ɫɦɟɳɚɟɬɫɹ ɜɩɪɚɜɨ ɢɥɢ ɜɥɟɜɨ. ɂɡɦɟɧɟɧɢɟ ɠɟ
ɜɟɥɢɱɢɧɵ
V ɜɥɟɱɟɬ ɡɚ ɫɨɛɨɣ ɢɡɦɟɧɟɧɢɟ ɬɨɥɶɤɨ ɲɢɪɢɧɵ ɤɪɢɜɨɣ: ɩɪɢ
ɭɦɟɧɶɲɟɧɢɢ
V ɤɪɢɜɚɹ ɞɟɥɚɟɬɫɹ ɛɨɥɟɟ ɭɡɤɨɣ ɡɚ ɫɱɟɬ ɦɟɧɶɲɟɝɨ ɪɚɫɫɟɹɧɢɹ
ɜɚɪɢɚɧɬ ɜɨɤɪɭɝ ɫɪɟɞɧɟɣ, ɚ ɩɪɢ ɭɜɟɥɢɱɟɧɢɢ
V ɤɪɢɜɚɹ ɪɚɫɲɢɪɹɟɬɫɹ. ȼɨ ɜɫɟɯ
ɫɥɭɱɚɹɯ, ɨɞɧɚɤɨ, ɧɨɪɦɚɥɶɧɚɹ ɤɪɢɜɚɹ ɨɫɬɚɟɬɫɹ ɫɬɪɨɝɨ ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɨɣ ɨɬɧɨ-
ɫɢɬɟɥɶɧɨ ɰɟɧɬɪɚ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ, ɫɨɯɪɚɧɹɹ ɩɪɚɜɢɥɶɧɭɸ ɤɨɥɨɤɨɥɨɨɛɪɚɡɧɭɸ
ɮɨɪɦɭ.
ɇɨɪɦɚɥɶɧɚɹ ɤɪɢɜɚɹ ɫ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚɦɢ
P = 0 ɢ V = 1 ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɧɨɪɦɚɥɶ-
ɧɨɣ ɢɥɢ ɫɬɚɧɞɚɪɬɢɡɨɜɚɧɧɨɣ ɤɪɢɜɨɣ. Ɉɧɚ ɨɩɢɫɵɜɚɟɬɫɹ ɮɨɪɦɭɥɨɣ
f(t) =
2
2
2
1
t
e
S
.
(7)
Ʌɸɛɭɸ ɧɨɪɦɚɥɶɧɭɸ ɤɪɢɜɭɸ ɦɨɠɧɨ ɩɪɢɜɟɫɬɢ ɤ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɣ (ɜɵɱɢ-
ɬɚɧɢɟɦ
P ɢɡ x
i
ɢ ɞɟɥɟɧɢɟɦ ɧɚ V). ɋɬɚɧɞɚɪɬɧɚɹ ɤɪɢɜɚɹ ɢɦɟɟɬ ɩɥɨɳɚɞɶ, ɪɚɜ-
ɧɭɸ ɟɞɢɧɢɰɟ. ȿɟ ɜɟɪɲɢɧɚ, ɬ. ɟ. ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɚɹ ɨɪɞɢɧɚɬɚ y
max
, ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ
ɧɚɱɚɥɭ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɵɯ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ, ɩɟɪɟɧɟɫɟɧɧɨɦɭ ɜ ɰɟɧɬɪ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ,
ɝɞɟ x
i
P = 0. ȼɩɪɚɜɨ ɢ ɜɥɟɜɨ ɨɬ ɷɬɨɝɨ ɰɟɧɬɪɚ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɏ ɦɨɠɟɬ
ɩɪɢɧɢɦɚɬɶ ɥɸɛɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ, ɢ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɤɚɠɞɨɝɨ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɹ (x
i
P) ɨɩɪɟ-
ɞɟɥɹɟɬɫɹ ɮɭɧɤɰɢɟɣ ɟɝɨ ɧɨɪɦɢɪɨɜɚɧɧɨɝɨ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɹ f(t).
3.4. ȻɂɇɈɆɂȺɅɖɇɈȿ ɊȺɋɉɊȿȾȿɅȿɇɂȿ
ɉɪɟɞɫɬɚɜɢɦ, ɱɬɨ ɜ ɨɬɧɨɲɟɧɢɢ ɧɟɤɨɬɨɪɨɝɨ ɫɥɭɱɚɣɧɨɝɨ ɫɨɛɵɬɢɹ Ⱥ
ɩɪɨɢɡɜɨɞɹɬ n ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɯ ɢɫɩɵɬɚɧɢɣ ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ, ɱɬɨ ɜ ɤɚɠɞɨɦ ɢɫɩɵɬɚ-
ɧɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ p ɩɨɹɜɥɟɧɢɹ ɷɬɨɝɨ ɫɨɛɵɬɢɹ ɩɨɫɬɨɹɧɧɚ. Ȼɭɞɟɦ ɭɱɢɬɵɜɚɬɶ
ɬɨɥɶɤɨ ɞɜɚ ɢɫɯɨɞɚ: ɩɨɹɜɥɟɧɢɟ ɫɨɛɵɬɢɹ Ⱥ ɥɢɛɨ ɩɪɨɬɢɜɨɩɨɥɨɠɧɨɝɨ ɟɦɭ ɫɨ-
ɛɵɬɢɹ , ɬɨɠɟ ɢɦɟɸɳɟɝɨ ɩɨɫɬɨɹɧɧɭɸ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ q, ɩɪɢɱɟɦ p + q = 1.
ɉɪɢ ɷɬɢɯ ɭɫɥɨɜɢɹɯ, ɟɫɥɢ ɫɨɛɵɬɢɟ Ⱥ ɜ n ɢɫɩɵɬɚɧɢɹɯ ɩɨɹɜɢɬɫɹ k ɪɚɡ, ɫɨɛɵ-
ɬɢɟ
A
_
A
_
ɛɭɞɟɬ ɜɫɬɪɟɱɚɬɶɫɹ n – k ɪɚɡ. ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɥɸɛɨɝɨ ɢɫɯɨɞɚ (P
n
(ɬ)) ɧɟ-
ɡɚɜɢɫɢɦɨ ɨɬ ɬɨɝɨ, ɜ ɤɚɤɨɦ ɩɨɪɹɞɤɟ ɷɬɢ ɫɨɛɵɬɢɹ ɱɟɪɟɞɭɸɬɫɹ, ɜɵɪɚɡɢɬɫɹ
ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟɦ p
k
q
n–k
(ɩɨ ɩɪɚɜɢɥɭ ɭɦɧɨɠɟɧɢɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ), ɭɦɧɨɠɟɧɧɵɦ
ɧɚ ɛɢɧɨɦɢɚɥɶɧɵɣ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ
C
n
knk
n
k

!
!( )!
, ɬ. ɟ.
P
n
(ɬ)= pC
n
k
k
q
n-k
.
(8)
ɗɬɚ ɮɨɪɦɭɥɚ (ɮɨɪɦɭɥɚ Ȼɟɪɧɭɥɥɢ) ɩɨɡɜɨɥɹɟɬ ɧɚɯɨɞɢɬɶ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ
ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɢɡ n ɜɡɹɬɵɯ ɧɚɭɝɚɞ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɨɤɚɠɟɬɫɹ k ɨɠɢɞɚɟɦɵɯ.
12
�������� �(�) � ������������� ����������� t. �� ����������, ��� ����-
������� ���������� ����� �������� xi �� ������ ������������� �, ��� xi –
� = 0, ������������ �������� �������������� ���������� t. ����������
��� ������� ���������� � ���� ������ �����������, ���������� �������-
��� ������. ����� � ��������� ���� ������ ������������ ������ �����
�����������: � � �. ��� ��������� �������� � ����� ���������� ������
�� ��������, ���� ������ �� ��������� ������ ��� �����. ��������� ��
�������� � ������ �� ����� ��������� ������ ������ ������: ���
���������� � ������ �������� ����� ����� �� ���� �������� ���������
������� ������ �������, � ��� ���������� � ������ �����������. �� ����
�������, ������, ���������� ������ �������� ������ ������������ ����-
�������� ������ �������������, �������� ���������� ����������������
�����.
      ���������� ������ � ����������� � = 0 � � = 1 ���������� �������-
��� ��� ����������������� ������. ��� ����������� ��������
                                       t2
                                   1 �2
                          f(t) =      e .                            (7)
                                   2�
       ����� ���������� ������ ����� �������� � ����������� (����-
������ � �� xi � �������� �� �). ����������� ������ ����� �������, ���-
��� �������. �� �������, �. �. ������������ �������� ymax, �������������
������ ������������� ���������, ������������� � ����� �������������,
��� xi – � = 0. ������ � ����� �� ����� ������ ��������� �������� � �����
��������� ����� ��������, � �������� ������� ���������� (xi – �) ����-
�������� �������� ��� �������������� ���������� f(t).

     3.4. ������������ �������������
     ����������, ��� � ��������� ���������� ���������� ������� �
���������� n ����������� ��������� ��� �������, ��� � ������ ������-
��� ����������� p ��������� ����� ������� ���������. ����� ���������
������ ��� ������: ��������� ������� � ���� ���������������� ��� ��-
        _
����� A , ���� �������� ���������� ����������� q, ������ p + q = 1.
��� ���� ��������, ���� ������� � � n ���������� �������� k ���, ����-
    _
��� A ����� ����������� n – k ���. ����������� ������ ������ (Pn(�)) ��-
�������� �� ����, � ����� ������� ��� ������� ����������, ���������
������������� pkqn–k (�� ������� ��������� ������������), ����������
                                   k           n!
�� ������������ ����������� Cn �                        , �. �.
                                        k !� ( n � k )!
                           Pn(�) = Cnk pkqn-k.                      (8)
      ��� ������� (������� ��������) ��������� �������� �����������
����, ��� �� n ������ ������ ��������� �������� k ���������.

                                     12