Оптимизация технологических процессов. Часть 1. Метод Лагранжа и численные методы безусловной оптимизации функции одной переменной. Асламова В.С - 24 стр.

      Множество X ⊂ Rn называется замкнутым, если оно содержит все
свои граничные точки.
      Каждая гиперплоскость пространства Rn является замкнутым мно-
жеством. Само пространство Rn является одновременно открытым и
замкнутым множеством.
      Объединение и пересечение конечного числа открытых (замкну-
тых) множеств представляет собой открытое (замкнутое) множество.
      Множество X называется ограниченным, если существует ε>0,
что X ⊂ U (0n ,ε).
      Замкнутое и ограниченное множество называется компактным
множеством или компактом.
      Примером компакта является множество вида

                         { x ∈ Rn    x − x0 ≤ ε      }.

      Гиперплоскость не является компактом, так как для нее не выпол-
няется требование ограниченности.
      Множество X ⊂ Rn называется выпуклым, если для любой пары
точек из X весь отрезок, соединяющей эти точки, также принадлежат X.
      Каждая гиперплоскость, заданная уравнением (3.6), порождает два
множества
                          { x ∈ R n ( a, x ) ≥ λ }                (3.9)
     и
                         { x ∈ R n ( a, x ) ≤ λ } ,              (3.10)

которые называются замкнутыми полупространствами.
      Случай замкнутого полупространства на множестве R2 показан на
рис.3. Прямая a1x1+a2x2=λ делит плоскость Ox1x2 на две полуплоскости.
      Если в равенствах (3.9) и (3.10) использовать знаки строгих нера-
венств, то получим открытые полупространства. Эти полупространства
служат примерами выпуклых множеств.
      Проверим, например, является ли выпуклым множество

                          { x ∈ R n ( a, x ) ≥ λ }    .
                                                                    24