Оптимизация технологических процессов. Часть 1. Метод Лагранжа и численные методы безусловной оптимизации функции одной переменной. Асламова В.С - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АГТА | Ангарск

Составители: 

Рубрика: 

т.е.
f (x
1
, x
2
, …, x
n
) = f
1
(x
1
) + f
2
(x
2
) + … + f
n
(x
n
).
Например, линейная функция
h(x
1
, x
2
, …, x
n
) = a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ … + a
n
x
n
(где все а
i
, i=
n,1
– постоянные числа) является сепарабельной, а функция
h(x
1
, x
2
, x
3
) = x
1
+sin(x
2
+ x
3
) + x
2
сепарабельной не является.
Вектор
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
∂
∂
n
x
xf
x
xf
x
xf )(
,...,
)(
,
)(
0
2
0
1
0
называется градиентом функции f в точке х
0
, обозначается символом ∇f
(x
0
) (читается: "набла эф от х
0
''), где
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∇
n
xxx
,...,,
21
− символический оператор Гамильтона, и пишут
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∇=
n
x
x
xf
x
xf
x
xf
xffgrad
)(
,...,
)(
,
)(
)(
0
2
0
1
0
0
0
(3.13)
Вектор −∇f (x
0
) называется антиградиентом функции f в точке x
0
.
Градиент функции f указывает направление наискорейшего воз-
растания, а антиградиент – направление наискорейшего убывания ее
значений в точке х
0
.
Функция f, заданная на выпуклом множестве G ⊂ R
n
, называется
выпуклой, если ∀x
1
x
2
∈ G и ∀t ∈ [0,1] выполняется неравенство
(3.14)
)()1()())1((
2121
xftxtfxttxf −+≤−+
и называется вогнутой, если функция −f (противоположная функция)
выпукла на множестве G.
27 
т.е.
                f (x1, x2,       , xn) = f1(x1) + f2(x2) +                 + fn(xn).

       Например, линейная функция

                    h(x1, x2,       , xn) = a1x1 + a2x2 +                  + anxn

(где все аi, i= 1, n – постоянные числа) является сепарабельной, а функция

                          h(x1, x2, x3) = x1 +sin(x2 + x3) + x2

сепарабельной не является.
     Вектор
                             ⎛ ∂f ( x 0 ) ∂f ( x 0 )       ∂f ( x 0   )⎞
                             ⎜           ,           ,...,             ⎟
                             ⎜ ∂x           ∂x2              ∂xn       ⎟
                             ⎝      1                                  ⎠

называется градиентом функции f в точке х0, обозначается символом ∇f
(x0) (читается: "набла эф от х0''), где

                                      ⎛ ∂ ∂            ∂         ⎞
                                 ∇ = ⎜⎜    ,    ,...,            ⎟
                                                                 ⎟
                                      ⎝ ∂x1 ∂x2       ∂xn        ⎠

− символический оператор Гамильтона, и пишут

                                          ⎛ ∂f ( x 0 ) ∂f ( x 0 )       ∂f ( x 0 ) ⎞
           grad f         = ∇f ( x 0 ) = ⎜⎜           ,           ,...,            ⎟
                     x0
                                          ⎝ ∂x1          ∂x 2             ∂x n ⎟⎠      (3.13)

      Вектор −∇f (x0) называется антиградиентом функции f в точке x0.
      Градиент функции f указывает направление наискорейшего воз-
растания, а антиградиент – направление наискорейшего убывания ее
значений в точке х0.
      Функция f, заданная на выпуклом множестве G ⊂ Rn, называется
выпуклой, если ∀x1x2 ∈ G и ∀t ∈ [0,1] выполняется неравенство

                     f (tx1 + (1 − t ) x 2 ) ≤ tf ( x1 ) + (1 − t ) f ( x 2 )          (3.14)

и называется вогнутой, если функция −f (противоположная функция)
выпукла на множестве G.
                                                                                          27

Страницы