Оптимизация технологических процессов. Часть 1. Метод Лагранжа и численные методы безусловной оптимизации функции одной переменной. Асламова В.С - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АГТА | Ангарск

Составители: 

Рубрика: 

Выпуклые функции определяются только на выпуклых множест-
вах.
В случае действительного аргумента x ⊂ R функция f (x) называет-
ся выпуклой, если для любых х
1
и х
2
из интервала допустимых значений
выполняется условие:
2
)()(
)
2
(
2121
xfxfxx
f
+
≤
+
(3.15)
Геометрически условие (3.15) означает, что середина любой хорды
графика функции f лежит либо над графиком, либо на нем.
Если неравенства (3.14), (3.15) выполняются, как строгие, то f –
строго выпуклая функция.
Справедливы следующие утверждения.
1) Если функции f
1
,f
2
,…, f
m
выпуклы на выпуклом множестве G, то
функция
∑
=
=
m
k
kk
xfcxf
1
),()(
где с
k
≥ 0, k = 1,2, ...,m, выпукла на G.
2) Если функция выпукла на выпуклом множестве G, то ∀
α
∈ R
множество
{
}
α
≤∈ )(xfGx
является выпуклым.
3) Пусть функция f непрерывно дифференцируема на выпуклом
множестве G. Тогда f выпукла на G, следовательно
f (x
2
) ≥ f (x
1
) + (∇f (x
1
), x
2
– x
1
) ∀x
1
,x
2
∈ G (3.16)
Необходимое и достаточное условие выпуклости функции:
Если функция f дифференцируема на интервале, то для того, чтобы
она была (строго) выпуклой на нем, необходимо и достаточно, чтобы ее
производная возрастала (не убывала).
Таким образом, для выпуклости непрерывно дифференцируемой
функции на некотором множестве G достаточно неотрицательной опре-
деленности ее матрицы вторых частных производных Гессе:
28 
       Выпуклые функции определяются только на выпуклых множест-
вах.
     В случае действительного аргумента x ⊂ R функция f (x) называет-
ся выпуклой, если для любых х1 и х2 из интервала допустимых значений
выполняется условие:

                             x1 + x 2    f ( x1 ) + f ( x 2 )
                        f(            )≤                         (3.15)
                                2                 2

      Геометрически условие (3.15) означает, что середина любой хорды
графика функции f лежит либо над графиком, либо на нем.
      Если неравенства (3.14), (3.15) выполняются, как строгие, то f –
строго выпуклая функция.
      Справедливы следующие утверждения.
      1) Если функции f1,f2, , fm выпуклы на выпуклом множестве G, то
функция
                                          m
                                f ( x) = ∑ ck f k ( x),
                                         k =1

где сk ≥ 0, k = 1,2, ...,m, выпукла на G.
       2) Если функция выпукла на выпуклом множестве G, то ∀α ∈ R
множество
                              { x ∈G     f (x) ≤ α   }
является выпуклым.
      3) Пусть функция f непрерывно дифференцируема на выпуклом
множестве G. Тогда f выпукла на G, следовательно

               f (x2) ≥ f (x1) + (∇f (x1), x2 – x1) ∀x1,x2 ∈ G   (3.16)

     Необходимое и достаточное условие выпуклости функции:
     Если функция f дифференцируема на интервале, то для того, чтобы
она была (строго) выпуклой на нем, необходимо и достаточно, чтобы ее
производная возрастала (не убывала).
     Таким образом, для выпуклости непрерывно дифференцируемой
функции на некотором множестве G достаточно неотрицательной опре-
деленности ее матрицы вторых частных производных Гессе:
                                                                    28

Страницы