Оптимизация технологических процессов. Часть 1. Метод Лагранжа и численные методы безусловной оптимизации функции одной переменной. Асламова В.С - 29 стр.

                            ⎛ ∂ 2 f ( x)   ∂ 2 f ( x)     ∂ 2 f ( x) ⎞
                            ⎜                           L            ⎟
                            ⎜ ∂x12         ∂x1∂x 2        ∂x1∂x n ⎟
                            ⎜ ∂ 2 f ( x)   ∂ 2 f ( x)     ∂ 2 f ( x) ⎟
                            ⎜                           L            ⎟
                   Г ( x) = ⎜ ∂x ∂x          ∂x 22        ∂x 2 ∂x n ⎟
                                  2    1
                            ⎜ L               L         L     L ⎟
                            ⎜ ∂ 2 f ( x)   ∂ 2 f ( x)     ∂ f ( x) ⎟
                                                            2
                            ⎜                           L            ⎟
                            ⎜ ∂x ∂x
                            ⎝ n 1          ∂x n ∂x 2        ∂x n2 ⎟⎠
      При исследовании на знакоопределенность матрицы Г вторых про-
изводных целесообразно использовать критерий Сильвестра.
      Главным угловым минором k-го порядка некоторой квадратной
матрицы называют определитель матрицы, составленной из первых k
строк и первых k столбцов исходной матрицы.
      Критерий Сильвестра:
      Симметричная матрица является:
      а) положительно определенной тогда и только тогда, когда все ее
         главные угловые миноры положительны;
      б) отрицательно определенной, когда все ее главные угловые ми-
         норы нечетного порядка отрицательны, а четного – положи-
         тельны;
      в) при любом другом сочетании знаков миноров стационарная
         точка является седловой. Если хотя бы один из миноров равен
         нулю, то для определения характера экстремума следует ис-
         пользовать другие критерии.

      Пример 2:
      Исследовать функцию f = x1 ⋅ x2 на выпуклость на множестве
                               2    2


X = R2. Решение:
 ∂f           ∂f            ∂2 f       ∂2 f    ∂2 f         ∂2 f           ⎛ 2 0⎞
     = 2 x1 ;      = 2 x2 ;      = 2;        =         = 0;      = 2; Г = ⎜⎜    ⎟⎟.
 ∂x1          ∂x 2          ∂x12
                                      ∂x1∂x 2 ∂x 2 ∂x1      ∂x 2
                                                               2
                                                                           ⎝ 0 2⎠
      Главные угловые миноры матрицы Г:
                    ∂2 f
             M1 =        = 2 > 0; M 2 = det( Г ) = 2 ⋅ 2 − 0 ⋅ 0 = 4 > 0.
                    ∂x12
     Главные угловые миноры положительно определены, значит дан-
ная функция выпукла.
                                                                                  29