Оптимизация технологических процессов. Часть 1. Метод Лагранжа и численные методы безусловной оптимизации функции одной переменной. Асламова В.С - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АГТА | Ангарск

Составители: 

Рубрика: 

(наименьшее значение) в задаче минимизации и максимум (наибольшее
значение) – в задаче максимизации.
Тот факт, что решение х = х
*
оптимально, записывают в виде
)(min)(
*
xfxf
Gx ∈
=
− в задачах минимизации
и
)(max)(
*
xfxf
Gx ∈
=
− в задачах максимизации.
Заметим, что задачу максимизации функции f (x) можно свести к
задаче минимизации, заменив f (x) на противоположную по знаку функ-
цию G(х) = –f (x). Это означает, что оптимальные решения задач
f (x)→max и G(x)→min совпадают, а экстремальные значения функций
равны по модулю (|f (x
0
)| = |G(x
0
)|). Поэтому далее, в основном, будут
рассматриваться задачи минимизации. Все результаты, полученные для
задач минимизации легко переформулировать применительно к задачам
максимизации.
Теория оптимизации предусматривает рассмотрение двух видов
оптимумов: локальный и глобальный.
Говорят, что точка х
0
доставляет функции f локальный (строгий
локальный) минимум на множестве G, если существует
ε
-окрестность
U(х
0
,
ε
) точки х
0
такая, что
. (4.2)
),())()(()()(
000
ε
xUGxxfxfxfxf ∩∈∀<≤
Глобальный (строгий глобальный) минимум функции f на множе-
стве G доставляет точка х
*
, если
. (4.3)
Gxxfxfxfxf ∈∀<≤ ))()(()()(
**
В соответствии с приведенными определениями точку х
0
называют
точкой локального минимума, а x
*
– точкой глобального минимума.
Точка локального минимума не всегда является точкой глобально-
го минимума.
Например, функция одной переменной y=f (x), x ∈ [a,b], график ко-
торой изображен на рисунке 4, имеет две точки локального минимума х'
31 
(наименьшее значение) в задаче минимизации и максимум (наибольшее
значение) – в задаче максимизации.
     Тот факт, что решение х = х* оптимально, записывают в виде

                f ( x* ) = min f ( x) − в задачах минимизации
                           x∈G

     и
               f ( x* ) = max f ( x) − в задачах максимизации.
                          x∈G


      Заметим, что задачу максимизации функции f (x) можно свести к
задаче минимизации, заменив f (x) на противоположную по знаку функ-
цию G(х) = –f (x). Это означает, что оптимальные решения задач
f (x)→max и G(x)→min совпадают, а экстремальные значения функций
равны по модулю (|f (x0)| = |G(x0)|). Поэтому далее, в основном, будут
рассматриваться задачи минимизации. Все результаты, полученные для
задач минимизации легко переформулировать применительно к задачам
максимизации.
      Теория оптимизации предусматривает рассмотрение двух видов
оптимумов: локальный и глобальный.
      Говорят, что точка х0 доставляет функции f локальный (строгий
локальный) минимум на множестве G, если существует ε-окрестность
U(х0,ε) точки х0 такая, что

            f ( x 0 ) ≤ f ( x ) ( f ( x 0 ) < f ( x)) ∀x ∈ G ∩ U ( x 0 , ε ) .   (4.2)

      Глобальный (строгий глобальный) минимум функции f на множе-
стве G доставляет точка х*, если

                   f ( x* ) ≤ f ( x) ( f ( x* ) < f ( x)) ∀x ∈ G .               (4.3)

     В соответствии с приведенными определениями точку х0 называют
точкой локального минимума, а x* – точкой глобального минимума.
     Точка локального минимума не всегда является точкой глобально-
го минимума.
     Например, функция одной переменной y=f (x), x ∈ [a,b], график ко-
торой изображен на рисунке 4, имеет две точки локального минимума х'
                                                                                   31

Страницы