Оптимизация технологических процессов. Часть 1. Метод Лагранжа и численные методы безусловной оптимизации функции одной переменной. Асламова В.С - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АГТА | Ангарск

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 4.1:
Если функция u=f (x) определена и непрерывна на замкнутом ог-
раниченном множестве G ⊂ R
n
, то ∃ x', x'' ∈ G такие, что
)(min)'( xfxf
Gx ∈
=
и
)(max)"( xfxf
Gx ∈
=
В теории оптимизации иногда удобно рассматривать более общую
задачу оптимизации, в которой понятие решения определяется таким
образом, что оно существует всегда. Для того чтобы сформулировать эту
обобщенную задачу, понадобится определение точной нижней грани и
точной верхней грани функции.
Число f
0
(или символ −∞) называют точной нижней гранью или
инфинумом (от латинского infinum – наименьшее) функции f на множе-
стве G, если неравенство f
0
<
f (x) справедливо для ∀x ∈ G, кроме того,
для любого числа λ > f
0
найдется точка х' ∈ G такая, что для f (x')<λ.
Тот факт, что f
0
– точная нижняя грань функции f
на множестве G,
записывают в виде
)(inf
0
xff
Gx ∈
=
.
Число f
*
(или символ +∞) называют точной верхней гранью или
супремумом (от латинского supremum – наибольшее) функции f на мно-
жестве G, если неравенство f
*
>
f (x) справедливо для ∀x ∈ G, и для лю-
бого числа λ < f
*
найдется точка х' ∈ G такая, что f (x') > λ. Для точной
верхней грани используют обозначение:
)(sup
*
xff
Gx ∈
=
.
В рассмотренном выше примере:
0)(inf
0
==
∈
xff
Gx
,
но нельзя указать точку, в которой точная нижняя грань достигается.
В таких случаях, задача оптимизации записывается в виде
f (x) → inf, (f (x) → sup), x ∈ G.
33 
     Теорема 4.1:
     Если функция u=f (x) определена и непрерывна на замкнутом ог-
раниченном множестве G ⊂ Rn, то ∃ x', x'' ∈ G такие, что

                  f ( x' ) = min f ( x)     и    f ( x" ) = max f ( x)
                           x∈G                             x∈G

      В теории оптимизации иногда удобно рассматривать более общую
задачу оптимизации, в которой понятие решения определяется таким
образом, что оно существует всегда. Для того чтобы сформулировать эту
обобщенную задачу, понадобится определение точной нижней грани и
точной верхней грани функции.
      Число f 0 (или символ −∞) называют точной нижней гранью или
инфинумом (от латинского infinum – наименьшее) функции f на множе-
стве G, если неравенство f 0 < f (x) справедливо для ∀x ∈ G, кроме того,
для любого числа λ > f 0 найдется точка х' ∈ G такая, что для f (x')<λ.
      Тот факт, что f 0 – точная нижняя грань функции f на множестве G,
записывают в виде
                                   f 0 = inf f ( x) .
                                           x∈G
              *
      Число f (или символ +∞) называют точной верхней гранью или
супремумом (от латинского supremum – наибольшее) функции f на мно-
жестве G, если неравенство f * > f (x) справедливо для ∀x ∈ G, и для лю-
бого числа λ < f * найдется точка х' ∈ G такая, что f (x') > λ. Для точной
верхней грани используют обозначение:

                                   f * = sup f ( x) .
                                           x∈G


      В рассмотренном выше примере:

                                 f 0 = inf f ( x) = 0 ,
                                          x∈G


но нельзя указать точку, в которой точная нижняя грань достигается.
      В таких случаях, задача оптимизации записывается в виде

                       f (x) → inf, (f (x) → sup), x ∈ G.


                                                                         33

Страницы