Оптимизация технологических процессов. Часть 1. Метод Лагранжа и численные методы безусловной оптимизации функции одной переменной. Асламова В.С - 35 стр.

(4.2) на случай функции n переменных.

     Теорема 4.2:
     Пусть функция u = f (x), х ∈ Rn дифференцируема в точке х0.
Для того, чтобы х0 была точкой локального минимума функции f, необ-
ходимо, чтобы ее дифференциал обращался в нуль при х=x0:

                              ∇f (х0) = 0n ,                     (4.4)

т.е. градиент должен являться нуль-вектором.
       Так как точка глобального минимума является и точкой локально-
го минимума функции, то равенство (4.4) представляет собой также не-
обходимое условие того, чтобы х0 была точкой глобального минимума в
задаче без ограничений.
       В соответствии с теоремой 4.2, дифференцируемая функция f мо-
жет иметь локальный (значит, и глобальный) минимум в задачах без ог-
раничений только в точках, где градиент является нуль-вектором. Сле-
довательно, решение задачи безусловной минимизации функции f следу-
ет искать среди решений векторного уравнения (4.4), которое в коорди-
натной форме представляет собой систему уравнений

                        ∂f ( x)
                                = 0, i = 1,2,..., n.             (4.5)
                         ∂xi
      Решения этой системы называются стационарными точками функ-
ции f. Если известно, что множество стационарных точек конечно, то,
сравнивая значения функции f в них, может быть найдена точка ее гло-
бального минимума.
      Следует, однако, заметить, что решение системы уравнений (4.5)
не всегда возможно аналитически, в этом случае ее решают численными
методами.
      Условие (4.4) не является достаточным для наличия в стационар-
ной точке х0 локального минимума. Это означает, что стационарная точ-
ка может оказаться точкой локального или глобального максимума или
являться седловой точкой A (рис.5), где в одном направлении функция
возрастает, а в другом убывает.


                                                                   35