Оптимизация технологических процессов. Часть 1. Метод Лагранжа и численные методы безусловной оптимизации функции одной переменной. Асламова В.С - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АГТА | Ангарск

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 4.3:
Для того чтобы дважды непрерывно дифференцируемая функция
f (x), х ∈ R
n
, имела в стационарной точке х
0
локальный минимум доста-
точно, чтобы квадратичная форма была положительно определена, т.е.
Выполнялось неравенство
0
)(
11
02
∑∑
==
>
∂∂
∂
n
i
n
j
ji
ji
dxdx
xx
xf
,
для
.0и),...,,(
21 n
n
n
dxRdxdxdxdx ≠∈=∀
Пример 3:
Проиллюстрируем вышеизложенное на следующей задаче: найти
точки экстремума функции
,
2
)(
2
2
2
1
extrx
x
xfu →+==
для х ∈ R
2
.
Из необходимых условий (4.5) имеем:
.2
)(
,
)(
2
2
1
1
x
x
xf
x
x
xf
=
∂
∂
=
∂
∂
Следовательно, х
0
= (0,0) – стационарная точка. Частные произ-
водные второго порядка данной функции имеют вид
.2
)(
,0
)()(
,1
)(
2
2
2
12
2
21
2
1
2
=
∂
∂
=
∂∂
∂
=
∂∂
∂
=
∂
∂
x
xf
xx
xf
xx
xf
x
xf
Отсюда
.0),(02
)(
2
2
21
2
1
2
1
2
2
2
1
02
≠∈=∀>+=
∂∂
∂
∑∑
==
dxиRdxdxxdxdxdxdx
xx
xf
ij
ji
ji
Согласно теореме 4.3 получим: (0,0) – точка минимума. Отметим,
что графиком рассматриваемой функции является эллиптический пара-
болоид с вершиной в точке (0,0).
37 
        Теорема 4.3:
        Для того чтобы дважды непрерывно дифференцируемая функция
f (x), х ∈ Rn, имела в стационарной точке х0 локальный минимум доста-
точно, чтобы квадратичная форма была положительно определена, т.е.
Выполнялось неравенство
                                      n    n
                                               ∂ 2 f ( x0 )
                                     ∑∑ ∂x ∂x dxi dx j >0 ,
                                     i =1 j =1      i   j


                  для      ∀dx = (dx1 , dx 2 ,..., dx n ) ∈ R n      и       dx ≠ 0 n.

     Пример 3:
     Проиллюстрируем вышеизложенное на следующей задаче: найти
точки экстремума функции
                                          x12
                        u = f ( x) =          + x22 → extr ,   для х ∈ R2.
                                          2

     Из необходимых условий (4.5) имеем:

                                     ∂f ( x)          ∂f ( x)
                                             = x1 ,           = 2 x2 .
                                      ∂x1              ∂x2
     Следовательно, х0 = (0,0) – стационарная точка. Частные произ-
водные второго порядка данной функции имеют вид

                   ∂ 2 f ( x)          ∂ 2 f ( x) ∂ 2 f ( x)             ∂ 2 f ( x)
                              = 1,               =           = 0,                   = 2.
                      ∂x1              ∂x1∂x2      ∂x2∂x1                   ∂x22
     Отсюда
     2     2
               ∂ 2 f ( x0 )
    ∑∑                      dxi dx j = dx12 + 2dx22 >0 ∀x = (dx1 , dx2 ) ∈ R 2 и dx ≠ 0 2.
    i =1   j =1 ∂xi ∂x j


      Согласно теореме 4.3 получим: (0,0) – точка минимума. Отметим,
что графиком рассматриваемой функции является эллиптический пара-
болоид с вершиной в точке (0,0).




                                                                                             37

Страницы