Оптимизация технологических процессов. Часть 1. Метод Лагранжа и численные методы безусловной оптимизации функции одной переменной. Асламова В.С - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АГТА | Ангарск

Составители: 

Рубрика: 

Рис.5. Седловая точка А
A
В этом легко убедиться на следующем примере.
Пусть f (x)=x
1
⋅x
2
. Тогда
.
)(
,
)(
1
2
2
1
x
x
xf
x
x
xf
=
∂
∂
=
∂
∂
В точке x
0
= (0,0):
,0
)()(
2
0
1
0
=
∂
∂
=
∂
∂
x
xf
x
xf
следовательно:
2
0
0)( =∇ xf
и, кроме того,
0)0(
2
=f
.
Однако здесь при любых х
1
≠ 0 и х
2
≠ 0 имеем x
1
⋅x
2
> 0, если х
1
, х
2
одинаковых знаков, и x
1
⋅x
2
< 0, если х
1
, х
2
противоположных знаков, т.е.
значение f (0
2
) = 0 не является наименьшим ни в какой окрестности точ-
ки (0,0). А это по определению означает, что точка (0,0) не является точ-
кой минимума данной функции.
Следующее утверждение устанавливает достаточные условия су-
ществования локального минимума в стационарных точках [8].
36 
                                                  A




                              Рис.5. Седловая точка А

      В этом легко убедиться на следующем примере.
      Пусть f (x)=x1⋅x2. Тогда

                            ∂f ( x)          ∂f ( x)
                                    = x2 ,           = x1.
                             ∂x1              ∂x2
      В точке x0 = (0,0):
                              ∂f ( x 0 ) ∂f ( x 0 )
                                        =           = 0,
                                ∂x1        ∂x2
следовательно:
                                ∇f ( x 0 ) = 02
и, кроме того,
                                    f (0 2 ) = 0 .

      Однако здесь при любых х1 ≠ 0 и х2 ≠ 0 имеем x1⋅x2 > 0, если х1, х2
одинаковых знаков, и x1⋅x2 < 0, если х1, х2 противоположных знаков, т.е.
значение f (02) = 0 не является наименьшим ни в какой окрестности точ-
ки (0,0). А это по определению означает, что точка (0,0) не является точ-
кой минимума данной функции.
      Следующее утверждение устанавливает достаточные условия су-
ществования локального минимума в стационарных точках [8].
                                                                      36

Страницы