Оптимизация технологических процессов. Часть 1. Метод Лагранжа и численные методы безусловной оптимизации функции одной переменной. Асламова В.С - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АГТА | Ангарск

Составители: 

Рубрика: 

4.4. Задачи оптимизации с ограничениями типа равенств. Ме-
тод неопределенных множителей Лагранжа
Рассмотрим теперь задачу на условный экстремум. Как показано в
п.4.З, решение задачи об отыскании экстремумов функции n переменных
n
Rmxxxxf ∈= ),...,,(),(
21
может быть сведено с помощью необходимых условий к решению сис-
темы уравнений (4.5), в результате чего определяются стационарные
точки функции f (x). Оказывается, что аналогичное сведение возможно и
для задачи отыскания экстремумов функции f (x) при наличии ограниче-
ний типа равенств (уравнений связи):
(4.6)
.,...,2,1,0)( mixg
i
==
Уточним, что именно мы будем понимать под решением задачи на
условный экстремум.
Обозначим
{
}
mixgRxD
i
n
,...,2,1,0)( ==∈=
и предположим, что функции g
i
(x), i = 1,2,…,m имеют непрерывные ча-
стные производные по всем аргументам до второго порядка включи-
тельно в некоторой области G, содержащей множество D.
Говорят, что точка х
0
доставляет условный локальный минимум
(строгий условный локальный минимум) функции f (x), если ∃
ε
> 0 та-
кое, что для любого x ∈ D∩U(x
0
,
ε
) выполняется f(x) > f(x
0
). Для строгого
локального минимума − .
)()(
0
xfxf ≥
Пусть х
0
– некоторая точка множества D, и ранг матрицы Якоби,
рассматриваемой в точке х
0
для функций g
i
(x), i = 1,2,…,m, равен m. Не
нарушая общности, будем считать, что отличен от нуля определитель
(якобиан), составленный из частных производных по первым m аргумен-
там, т.е.
38 
4.4. Задачи оптимизации с ограничениями типа равенств. Ме-
тод неопределенных множителей Лагранжа

       Рассмотрим теперь задачу на условный экстремум. Как показано в
п.4.З, решение задачи об отыскании экстремумов функции n переменных

                         f ( x), x = ( x1 , x2 ,..., m) ∈ R n

может быть сведено с помощью необходимых условий к решению сис-
темы уравнений (4.5), в результате чего определяются стационарные
точки функции f (x). Оказывается, что аналогичное сведение возможно и
для задачи отыскания экстремумов функции f (x) при наличии ограниче-
ний типа равенств (уравнений связи):

                             g i ( x) = 0, i = 1,2,..., m.          (4.6)

     Уточним, что именно мы будем понимать под решением задачи на
условный экстремум.
     Обозначим
                         {
                    D = x ∈ R n g i ( x) = 0, i = 1,2,..., m    }
и предположим, что функции gi(x), i = 1,2, ,m имеют непрерывные ча-
стные производные по всем аргументам до второго порядка включи-
тельно в некоторой области G, содержащей множество D.
      Говорят, что точка х0 доставляет условный локальный минимум
(строгий условный локальный минимум) функции f (x), если ∃ε > 0 та-
кое, что для любого x ∈ D∩U(x0,ε) выполняется f(x) > f(x0). Для строгого
локального минимума − f ( x) ≥ f ( x ) .
                                    0


       Пусть х0 – некоторая точка множества D, и ранг матрицы Якоби,
рассматриваемой в точке х0 для функций gi(x), i = 1,2, ,m, равен m. Не
нарушая общности, будем считать, что отличен от нуля определитель
(якобиан), составленный из частных производных по первым m аргумен-
там, т.е.




                                                                      38

Страницы