Оптимизация технологических процессов. Часть 1. Метод Лагранжа и численные методы безусловной оптимизации функции одной переменной. Асламова В.С - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АГТА | Ангарск

Составители: 

Рубрика: 

0
...
.................
...
1
1
1
1
≠
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
m
mm
m
x
g
x
g
x
g
x
g
. (4.7)
Тогда по теореме о неявных функциях в некоторой окрестности
точки х
0
система уравнений (4.6) разрешима относительно переменных
х
1
,х
2
,...,x
m
, т.е. представима в виде
(4.8)
,,...,2,1),,...,,(
21
mixxxx
nmmii
==
++
ϕ
где – непрерывно дифференцируемые в
рассматриваемой окрестности функции.
,,...,2,1),,...,,(
21
mixxx
nmmi
=
++
ϕ
Переменные х
m+1
,х
m+2
,...,x
n
естественно назвать "независимыми", в
отличие oт "зависимых" – х
1
,х
2
,...,x
m
.
Подставляя выражения (4.8) в f (х), получим задачу отыскания без-
условного экстремума функции n–m переменных
),,...,(
),...,),,...,(),...,,...,((
1
1111
nm
nmnmmnm
xxh
xxxxxxf
+
+++
=
=
ϕϕ
Осуществить представление (4.8) удается не всегда. Рассмотрим
метод, который не предполагает наличие явных выражений типа (4.8).
Он известен как метод неопределенных множителей Лагранжа.
Как было отмечено в замечании к теореме 4.1, в точке х
0
, достав-
ляющей безусловный экстремум функции f, ее полный дифференциал
равен нулю, т.е.
.0
)(
)(
1
0
0
∑
=
=
∂
∂
=
n
j
j
j
dx
x
xf
xdf
Выделив переменные х
1
,х
2
,...,x
m
, можно этому равенству придать
вид
.0
)()(
11
00
∑∑
=+=
=∂
∂
∂
+
∂
∂
m
j
n
mk
k
k
j
j
x
x
xf
dx
x
xf
(4.9)
По условию функции g
i
(x) имеют непрерывные частные производ-
39 
                                       ∂g1 ∂g1
                                              ...
                                       ∂x1 ∂xm
                                       ................. ≠ 0
                                      ∂g m         ∂g m      .                              (4.7)
                                             ...
                                      ∂x1          ∂xm

        Тогда по теореме о неявных функциях в некоторой окрестности
точки х0 система уравнений (4.6) разрешима относительно переменных
х1,х2,...,xm, т.е. представима в виде

                       xi = ϕ i ( xm +1 , xm + 2 ,..., xn ), i = 1,2,..., m,                (4.8)

где ϕ i ( xm +1 , xm + 2 ,..., xn ), i = 1,2,..., m, – непрерывно дифференцируемые в
рассматриваемой окрестности функции.
     Переменные хm+1,хm+2,...,xn естественно назвать "независимыми", в
отличие oт "зависимых" – х1,х2,...,xm.
     Подставляя выражения (4.8) в f (х), получим задачу отыскания без-
условного экстремума функции n–m переменных

                  f (ϕ1 ( xm +1 ,..., xn ),...,ϕ m ( xm +1 ,..., xn ), xm +1 ,..., xn ) =
                                        = h( xm +1 ,..., xn ),

      Осуществить представление (4.8) удается не всегда. Рассмотрим
метод, который не предполагает наличие явных выражений типа (4.8).
Он известен как метод неопределенных множителей Лагранжа.
      Как было отмечено в замечании к теореме 4.1, в точке х0, достав-
ляющей безусловный экстремум функции f, ее полный дифференциал
равен нулю, т.е.
                                                n
                                                   ∂f ( x 0 )
                                df ( x 0 ) = ∑                dx j = 0.
                                               j =1 ∂x j

      Выделив переменные х1,х2,...,xm, можно этому равенству придать
вид
                          m
                              ∂f ( x 0 )            n
                                                        ∂f ( x 0 )
                         ∑ ∂x            dx j +   ∑                ∂xk = 0.                 (4.9)
                         j =1       j           k = m +1 ∂xk

      По условию функции gi(x) имеют непрерывные частные производ-

                                                                                              39

Страницы