Оптимизация технологических процессов. Часть 1. Метод Лагранжа и численные методы безусловной оптимизации функции одной переменной. Асламова В.С - 40 стр.

ные, поэтому, продифференцировав обе части равенства (4.6), получим

                                        dg i ( x 0 ) = 0, i = 1,2,..., m,
или
                               m
                                    ∂g i ( x 0 )           n
                                                                ∂g i ( x 0 )
                              ∑       ∂x j
                                                 dx j + ∑
                                                                  ∂xk
                                                                             dxk = 0.           (4.10)
                               j =1                    k = m +1


                                                 i = 1,2,...,m.

      Сложив почленно с равенством (4.9) равенства (4.10), умноженные
на произвольные множители λi, i = 1,2, ,m получим

  m   ⎛ ∂f ( x 0 )     m
                              ∂g i ( x 0 ) ⎞⎟           n ⎛
                                                              ∂f ( x 0 ) m ∂g i ( x 0 ) ⎞
  ∑ ⎜⎜      ∂x j
                     + ∑ λi
                                ∂x j ⎟⎠
                                              dx j + ∑ ⎜⎜               + ∑ λi
                                                                               ∂xk ⎟⎠
                                                                                        ⎟dxk = 0.
                                                                                                  (4.11)
  j =1 ⎝              i =1                          k = m +1 ⎝ ∂xk        i =1


           Распорядимся множителями λi , i = 1,2,..., m, таким образом, что-
бы обратились в нуль коэффициенты при dx1, dx2,..., dxm,

                             ∂f ( x 0 ) m ∂g i ( x 0 )
                                       + ∑ λi          = 0,           j = 1,2,..., m.           (4.12)
                               ∂x j      i =1 ∂x j

      Это возможно сделать, так как уравнения (4.12) образуют систему
линейных алгебраических уравнений относительно λi, i = 1,2, ,m, кото-
рая имеет единственное решение в силу того, что ее определитель (4.7)
по условию отличен от нуля.
      Пусть λi0, i = 1,2, ,m – требуемые значения множителей λi. Тогда
равенство (4.11) примет вид

                                   n    ⎛ ∂f ( x 0 ) m 0 ∂g i ( x 0 ) ⎞
                                ∑       ⎜
                                        ⎜           + ∑ λi
                                                           ∂xk ⎟⎠
                                                                      ⎟dxk = 0,
                               k = m +1 ⎝ ∂xk         i =1


из которого следует, что коэффициенты при dxk, k = m + 1,                               ,n должны
быть нулями, т.е.
                           ∂f ( x 0 ) m 0 ∂g i ( x 0 )
                                     + ∑ λi            = 0, k = m + 1, ..., n.                  (4.13)
                             ∂xk       i =1 ∂xk


                                                                                                    40