Оптимизация технологических процессов. Часть 1. Метод Лагранжа и численные методы безусловной оптимизации функции одной переменной. Асламова В.С - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АГТА | Ангарск

Составители: 

Рубрика: 

Таким образом, если – точка экстремума функции
f (x) при ограничениях (4.6), то координаты этой точки вме-
сте с
являются решением системы n+m уравнений относи-
тельно неизвестных , :
),...,,(
00
2
0
1
0
n
xxxx =
00
2
0
1
,...,,
n
xxx
00
2
0
1
,...,,
m
λλλ
n
xxx ,...,,
21 m
λλλ
,...,,
21
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+==
∂
∂
+
∂
∂
==
∂
∂
+
∂
∂
==
∑
∑
=
=
m
i
k
i
i
k
m
i
j
i
i
j
i
nmk
x
xg
x
xf
mj
x
xg
x
xf
mixg
1
0
1
0
,...,1,0
)(
)(
,...,2,1,0
)(
)(
,...,2,1,0)(
λ
λ
Этот результат представляет собой основное содержание метода
множителей Лагранжа. Он позволяет свести задачу условной оптимиза-
ции к безусловной оптимизации, решение которой находится из необхо-
димых условий существования экстремума функции. Метод состоит из
следующих этапов:
1) составляется функция n+m переменных, которая называется
функцией Лагранжа:
(4.14)
∑
=
+=
m
i
ii
xgxfxL
1
);()(),(
λλ
2) находятся и приравниваются нулю частные производные по x
j
и
λ
i
функции (4.14):
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
===
∂
∂
==
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
∑
=
;,...,2,1,0)(
,,...,2,1,0
)()(
1
mixg
L
nj
x
xg
x
xf
x
L
i
j
m
i
j
i
i
jj
λ
λ
(4.15)
3) решается система (4.15) n+m уравнений относительно n+m не-
известных , .
n
xxx ,...,,
21 m
λλλ
,...,,
21
41 
                            0     0    0        0
       Таким образом, если x = ( x1 , x2 ,..., xn ) – точка экстремума функции
                                                        0    0        0
f (x) при ограничениях (4.6), то координаты этой точки x1 , x2 ,..., xn вме-

сте с λ1 , λ 2 ,..., λ m являются решением системы n+m уравнений относи-
       0    0         0



тельно неизвестных x1 , x2 ,..., xn , λ1 , λ 2 ,..., λ m :

                     ⎧ g i ( x) = 0,                            i = 1,2,..., m
                     ⎪
                     ⎪
                     ⎪⎪ ∂f ( x) m 0 ∂g i ( x)
                      ⎨          + ∑ λi         = 0,           j = 1,2,..., m
                      ⎪ ∂x j         i =1  ∂x j
                      ⎪ ∂f ( x) m 0 ∂g i ( x)
                      ⎪           + ∑ λi        = 0,        k = m + 1,..., n
                      ⎪⎩ ∂xk          i =1 ∂xk

      Этот результат представляет собой основное содержание метода
множителей Лагранжа. Он позволяет свести задачу условной оптимиза-
ции к безусловной оптимизации, решение которой находится из необхо-
димых условий существования экстремума функции. Метод состоит из
следующих этапов:
      1) составляется функция n+m переменных, которая называется
         функцией Лагранжа:
                                                     m
                               L( x, λ ) = f ( x) + ∑ λi g i ( x);                  (4.14)
                                                     i =1




       2) находятся и приравниваются нулю частные производные по xj и
          λi функции (4.14):

                 ⎧ ∂L ∂f ( x) m ∂gi ( x)
                 ⎪        =          + ∑ λi       = 0,          j = 1,2,..., n,
                 ⎪ ∂x j        ∂x j     i =1 ∂x j
                 ⎨ ∂L
                 ⎪                                                                  (4.15)
                         = gi ( x) = 0,                           i = 1,2,..., m;
                 ⎪⎩ ∂λ j

       3) решается система (4.15) n+m уравнений относительно n+m не-
           известных x1 , x2 ,..., xn , λ1 , λ 2 ,..., λ m .


                                                                                       41

Страницы