Оптимизация технологических процессов. Часть 1. Метод Лагранжа и численные методы безусловной оптимизации функции одной переменной. Асламова В.С - 44 стр.

                                     2b + 2h
                              λ=−                              (4.18)
                                       bh
     Подставим λ во второе уравнение системы
                                   (2b + 2h)
                      2 a + 2h −             a⋅h = 0
                                     b⋅h
     Помножим на b, получим

                    2 a ⋅ b + 2h ⋅ b − 2 a ⋅ b − 2a ⋅ h = 0

                       2h ⋅ b = 2a ⋅ h ⇒         b=a
     Подставим (4.18) в третье уравнение системы, и получим:
                                   (2b + 2h) ⋅ a ⋅ b
                      2a + 2b −                      =0
                                        b⋅h
     Умножим левую и правую части на h.

                    2a ⋅ h + 2b ⋅ h − 2b ⋅ a − 2a ⋅ h = 0
                               2b ⋅ h = 2b ⋅ a
      Получаем a = h.
      Следовательно, чтобы минимизировать площадь боковой поверх-
ности, емкость следует изготовлять в виде куба (a = b = h).
      Найдем размер стороны куба из четвертого уравнения системы:
                            a3 = V , a = 3 V
                                − 4a     4
                            λ= 2 =−
                                  a      a
     Теперь решим задачу методом исключения неизвестных.
     Выразим h из уравнения связи и подставим в целевую функцию:
                                      V
                                h=       ⇒
                                      ab
           ⎧             V       V           V   V
           ⎪S = 2ab + 2a    + 2b    = 2ab + 2 + 2 → min
           ⎨             ab      ab          b   a
           ⎪a , b > 0
           ⎩
     Получили задачу безусловной оптимизации. Из необходимых ус-
ловий существования экстремума имеем:


                                                                  44