Оптимизация технологических процессов. Часть 1. Метод Лагранжа и численные методы безусловной оптимизации функции одной переменной. Асламова В.С - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АГТА | Ангарск

Составители: 

Рубрика: 

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=+=
∂
∂
=⇒=+=
∂
∂
0
2
2
0
2
2
2
22
b
V
a
b
S
a
V
b
a
V
b
a
S
Подставим b во 2-е уравнение системы:
⇒=−=− 0
2
2
2
2
4
2
4
V
a
a
V
Va
a
0)1(2
3
=−
V
a
a
I. a = 0 ⇒ b = 0 ⇒ h = 0
Эта стационарная точка не удовлетворяет уравнению связи.
II.
;a 1
3
3
V
V
a
=⇒=
hbaV
V
V
h
V
V
V
b
====
==
т т.,
;
3
3
2
3
3
2
Из достаточных условий определим характер экстремума:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
=
3
3
2
22
2
2
2
4
2
2
4
b
V
a
V
b
S
ab
S
ba
S
a
S
Г
После подстановки стационарных точек:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
42
24
Г
M
1
= 4 > 0
M
2
= 16 − 4 = 12 >0
Следственно, по критерию Сильвестра стационарная точка достав-
ляет минимальное значение целевой функции S.
2) На рисунке 7 сварной шов выделен темной линией. Обозначим
суммарную длину сварного шва R. Математическая модель задачи ус-
ловной оптимизации:
45 
                             ⎧ ∂S           2V          V
                             ⎪⎪ ∂a = 2b +     2
                                                =0 ⇒ b= 2
                                            a          a
                              ⎨
                              ⎪ ∂S = 2a +   2V
                                                =0
                              ⎩⎪ ∂b         b2
     Подставим b во 2-е уравнение системы:
                                     2Va 4         2a 4
                              2a −         = 2 a −      =0 ⇒
                                      V2            V
                                                a3
                                       2a(1 −      )=0
                                                V
     I. a = 0 ⇒ b = 0 ⇒ h = 0
     Эта стационарная точка не удовлетворяет уравнению связи.
         a3
     II. V = 1 ⇒ a = V ;
                    3



                 V
        b=               =3V;
             3       2
                 V
                 V
        h=               = 3 V , т т. a = b = h
             3       2
                 V
     Из достаточных условий определим характер экстремума:
                                ⎛ ∂2S       ∂ 2 S ⎞ ⎛ 4V        ⎞
                                ⎜                 ⎟ ⎜         2 ⎟
                            Г = ⎜ ∂a2
                                      2
                                            ∂a∂b ⎟ = ⎜ a 3      ⎟
                                ⎜ ∂ S       ∂2S ⎟ ⎜ 2        4V ⎟
                                ⎜                 ⎟ ⎜           ⎟
                                ⎝ ∂b∂a      ∂b 2 ⎠ ⎝         b3 ⎠
     После подстановки стационарных точек:
                                               ⎛ 4 2⎞
                                          Г = ⎜⎜    ⎟⎟
                                               ⎝ 2 4⎠
      M1 = 4 > 0
      M2 = 16 − 4 = 12 >0
      Следственно, по критерию Сильвестра стационарная точка достав-
ляет минимальное значение целевой функции S.

     2) На рисунке 7 сварной шов выделен темной линией. Обозначим
суммарную длину сварного шва R. Математическая модель задачи ус-
ловной оптимизации:
                                                                    45

Страницы