Оптимизация технологических процессов. Часть 1. Метод Лагранжа и численные методы безусловной оптимизации функции одной переменной. Асламова В.С - 46 стр.

                        ⎧ R = 2a + 4b + h → min
                        ⎪
                        ⎨ a ⋅b ⋅ h −V = 0
                        ⎪ a , b, h > 0
                        ⎩
     Составим функцию Лагранжа, получим задачу безусловной опти-
мизации:
                ⎧ L = 2a + 4b + h + λ (a ⋅ b ⋅ h − V ) → min
                ⎨
                ⎩ a, b, h > 0

     Решение:
     Запишем необходимые условия (4.15):
                          ⎧ ∂L
                          ⎪ ∂a     = 2 + λbh = 0
                          ⎪
                          ⎪ ∂L
                          ⎪⎪ ∂b    = 4 + λah = 0
                           ⎨
                           ⎪ ∂L    = 1 + λab = 0
                           ⎪ ∂h
                           ⎪ ∂L
                           ⎪       = a ⋅b ⋅ h −V = 0
                           ⎪⎩ ∂λ
     Выразим из третьего уравнения системы:
                                            1
                                    λ=−
                                            ab
     Подставим λ в первое уравнение системы:
                                        bh
                                   2−      =0
                                        ab
     или, после умножения на a:
                                                      h
                         2a = h         ⇒        a=
                                                      2
     Подставим λ во второе уравнение системы:
                                        ah
                                   4−      =0
                                        ab
     После умножения на b, получим:



                                                               46