Оптимизация технологических процессов. Часть 1. Метод Лагранжа и численные методы безусловной оптимизации функции одной переменной. Асламова В.С - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АГТА | Ангарск

Составители: 

Рубрика: 

где f, g
1
, g
2
,....,g
m
– выпуклые функции, заданные на выпуклом и замкну-
том множестве G .
Точка х, принадлежащая множеству G и удовлетворяющая нера-
венствам . называется допустимой в задаче (5.1).
;,...,2,1,0)( mixg
i
=≤
Теорема 5.1:
Если функция f определена и выпукла на выпуклом множестве
G ⊂ R
n
, то в выпуклой задаче локальный минимум является и глобаль-
ным.
Пусть х – точка локального минимума функции f, т.е. ∃
ε
0
> 0 такое,
что
).,
€
()()
€
(
0
ε
xUGxxfxf ∩∈∀≤
Возьмем произвольную фиксированную точку x' ∈ G. Из условия
выпуклости множества G следует, что точка
)1,0(')1(
€
∈∀−+=
λλλ
xxx
принадлежит множеству G.
При
,
€
'
1
xx −
−≥
ε
λ
где
},
€
',min{
0
xx −<
εε
получаем
,
€
'
€
'
€
'
€
'
11
€
')1()
€
')(1(
€
')1('
€
'
0
εε
εε
λλλλ
<=−⋅
−
=−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−≤
−−≤−−=−−+=−
xx
xx
xx
xx
xxxxxxxxx
что означает
),
€
(
0
ε
xUx ∈
и, следовательно,
).')1(
€
()
€
(или)()
€
( xxfxfxfxf
λλ
−+≤≤
49 
где f, g1, g2,....,gm – выпуклые функции, заданные на выпуклом и замкну-
том множестве G .
       Точка х, принадлежащая множеству G и удовлетворяющая нера-
венствам g i ( x) ≤ 0, i = 1,2,..., m; . называется допустимой в задаче (5.1).
     Теорема 5.1:
     Если функция f определена и выпукла на выпуклом множестве
G ⊂ Rn, то в выпуклой задаче локальный минимум является и глобаль-
ным.
     Пусть х – точка локального минимума функции f, т.е. ∃ε0 > 0 такое,
что
                     f ( x€) ≤ f ( x) ∀x ∈ G ∩ U ( x€, ε 0 ).

     Возьмем произвольную фиксированную точку x' ∈ G. Из условия
выпуклости множества G следует, что точка

                             x = λx€ + (1 − λ ) x' ∀λ ∈ (0,1)

принадлежит множеству G.
     При
                                                    ε
                                      λ ≥1−                 ,
                                                  x'− x€
где
                                   ε < min{ε 0 , x'− x€ },
получаем
             x '− x€ = λx '+ (1 − λ ) x'− x€ = (1 − λ )( x '− x€) ≤ (1 − λ ) x'− x€
                  ⎡ ⎛        ε       ⎞⎤
                ≤ ⎢1 − ⎜1 −          ⎟⎥ x '− x€ = ε ⋅ x'− x€ = ε < ε ,
                  ⎢ ⎜⎝               ⎟⎥                             0
                            x'− x€   ⎠⎦           x '− x€
                  ⎣
что означает
                                        x ∈ U ( x€, ε 0 )
и, следовательно,
                   f ( x€) ≤ f ( x) или       f ( x€) ≤ f (λx€ + (1 − λ ) x' ).


                                                                                      49

Страницы