Оптимизация технологических процессов. Часть 1. Метод Лагранжа и численные методы безусловной оптимизации функции одной переменной. Асламова В.С - 50 стр.

     По условию функция f выпукла. Поэтому последнее неравенство
примет вид
                             f ( x€) ≤ λf ( x€) + (1 − λ ) f ( x' ).
      В частности, при
                                                       ε
                                        λ =1−
                                                      x'− x€
имеем
                         ⎛      ε       ⎞           ⎡ ⎛                     ⎞⎤
               f ( x€) ≤ ⎜1 −           ⎟ f ( x€) + ⎢1 − ⎜1 − ε             ⎟⎥ f ( x' ).
                         ⎜    x '− x€   ⎟           ⎢ ⎜       x'− x€        ⎟⎥
                         ⎝              ⎠           ⎣ ⎝                     ⎠⎦
      Отсюда
                                ε                       ε
                                        f ( x€) ≤              f ( x' ) ,
                               x'− x€                 x'− x€
или
                                        f ( x€) ≤ f ( x' ) .

      Так как х' – произвольная точка множества G, то из последнего не-
равенства следует, что х – точка глобального минимума функции f на G.
      В дальнейшем в выпуклых задачах оптимизации, говоря "мини-
мум", будем, подразумевать глобальный минимум.

      Пример 5:
      Функция
                                    f ( x1 , x2 ) = x12 + x22

выпукла на R2, (0,0) – точка локального минимума функции f, она же и
точка глобального минимума f на R2

                      ( f (0,0) = 0 ≤ x   2
                                          1   + x22     ∀( x1 , x2 ) ∈ R 2 . )

5.2. Условия оптимальности в выпуклых задачах

     В выпуклых задачах оптимизации важное место занимает функция
Лагранжа и понятие так называемой седловой точки функции Лагранжа.
                                                                                           50