Оптимизация технологических процессов. Часть 1. Метод Лагранжа и численные методы безусловной оптимизации функции одной переменной. Асламова В.С - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АГТА | Ангарск

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 5.2:
Если пара (x
*
,
λ
*
) – седловая точка функции Лагранжа (5.2), то х
*
–
точка глобального минимума в задаче (5.1), т.е.
).(min)(
*
xfxf
Gx ∈
=
Пусть (x
*
,
λ
*
) – некоторая седловая точка функции Лагранжа. Из
(5.2) и (5.3) получаем
(5.4)
)).(,()())(,()())(,()(
******
xgxfxgxfxgxf
λλλ
+≤+≤+
Из левой части неравенства (5.4) следует, что
(5.5)
)).(,())(,(
***
xgxg
λλ
≤
Отсюда
,0))(,(
**
≤− xg
λλ
или в развернутом виде
(5.6)
∑
=
≤−
m
i
iii
xg
1
**
.0)()(
λλ
Поскольку , i=1,2,...,m, неравенство (5.6) имеет место, если
0
*
≥
i
λ
.,...,2,1,0)(
*
mixg
i
=≤
Итак, g
i
(х
*
) ≤ 0 и, кроме того, , поэтому
0
*
≥
i
λ
(5.7)
∑
=
≤
m
i
ii
xg
1
**
.0)(
λ
Равенство (5.6) справедливо, в частности, и для , i=1,2,...,m,
т.е.
0=
i
λ
(5.8)
∑
=
≥
m
i
ii
xg
1
**
.0)(
λ
Сравнивая неравенства (5.7) и (5.8), будем иметь
∑
=
=
m
i
ii
xg
1
**
,0)(
λ
т.е.
52 
      Теорема 5.2:
      Если пара (x*,λ*) – седловая точка функции Лагранжа (5.2), то х* –
точка глобального минимума в задаче (5.1), т.е.

                                          f ( x* ) = min f ( x ).
                                                    x∈G

       Пусть (x*,λ*) – некоторая седловая точка функции Лагранжа. Из
(5.2) и (5.3) получаем

           f ( x* ) + (λ , g ( x* )) ≤ f ( x* ) + (λ* , g ( x* )) ≤ f ( x) + (λ* , g ( x)).   (5.4)

       Из левой части неравенства (5.4) следует, что

                                  (λ , g ( x* )) ≤ (λ* , g ( x* )).                           (5.5)
       Отсюда
                                        (λ − λ* , g ( x* )) ≤ 0,
или в развернутом виде
                                    m

                                   ∑ (λi − λ*i ) gi ( x* ) ≤ 0.                               (5.6)
                                   i =1


       Поскольку λi ≥ 0 , i=1,2,...,m, неравенство (5.6) имеет место, если
                  *




                                  g i ( x* ) ≤ 0, i = 1,2,..., m.

       Итак, gi(х*) ≤ 0 и, кроме того, λi ≥ 0 , поэтому
                                        *


                                           m
                                          ∑ λ*i gi ( x* ) ≤ 0.                                (5.7)
                                          i =1


       Равенство (5.6) справедливо, в частности, и для λi = 0 , i=1,2,...,m,
т.е.
                                           m

                                          ∑ λ*i gi ( x* ) ≥ 0.                                (5.8)
                                          i =1

       Сравнивая неравенства (5.7) и (5.8), будем иметь
                                           m

                                          ∑ λ*i gi ( x* ) = 0,
                                           i =1

т.е.
                                                                                                52

Страницы