Оптимизация технологических процессов. Часть 1. Метод Лагранжа и численные методы безусловной оптимизации функции одной переменной. Асламова В.С - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АГТА | Ангарск

Составители: 

Рубрика: 

этого рассмотрим произвольные неотрицательные числа λ
1
, λ
2
,…, λ
m
,
Очевидно,
.,...,2,1,0)(
*
mixg
ii
=≤
λ
Поэтому, используя неравенства (5.12) и (5.13), можно записать:
.,...,2,1),()(
***
mixgxg
iii
=≤
λλ
Следовательно,
(
)
(
)
,)()()()(
*****
xgxfxgxf
i
λλ
+≤+
что означает справедливость левой части неравенства (5.3).
Следует отметить, что теоремы 5.2 и 5.3 получены без каких-либо
предположений о свойствах функций и структуре множе-
ства G.
m
gggf ,...,,,
21
В соответствии с теоремой 5.2, если удастся найти седловую точку
функции Лагранжа (5.2), то тем самым будет решена задача (5.1), в ко-
торой все функции f и g
i
, i=1,2,...,m, а также множество G могут иметь
различную природу, причем х
*
будет точкой глобального минимума. Ес-
ли теоретически такой подход безупречен, то его реализация на практике
возможна не всегда. Дело в том, что если функции f, g
i
, i=1,2,...,m, и
множество G не выпуклы, то функция Лагранжа не всегда имеет седло-
вые точки. Более того, даже если указанные функции и множество вы-
пуклы и оптимальное решение задачи (5.1) существует, то в некоторых
"вырожденных" случаях соответствующая функция Лагранжа может не
иметь ни одной седловой точки.
Подтверждением последнего может служить следующая задача, в
которой
{}
0,0)(
;)(,1,1
2
≥∈=≤=
−
=
=
=
xRxGxxg
xxfmn
Здесь функции и множество G выпуклы.
Единственная точка х
*
=0 удовлетворяет ограничениям задачи; она же
является и точкой глобального минимума. Однако функция Лагранжа
L(x,λ) = –х + λх
2
не имеет седловых точек (не выполняется необходимые
2
1
)(,)( xxgxxf =−=
54 
этого рассмотрим произвольные неотрицательные числа λ1, λ2,                     , λm,
      Очевидно,
                           λi g i ( x* ) ≤ 0, i = 1,2,..., m.

Поэтому, используя неравенства (5.12) и (5.13), можно записать:

                       λi g i ( x* ) ≤ λ* g i ( x* ), i = 1,2,..., m.
      Следовательно,
                              (            )              (
                    f ( x* ) + λi g ( x* ) ≤ f ( x* ) + λ* g ( x* ) ,       )
что означает справедливость левой части неравенства (5.3).
      Следует отметить, что теоремы 5.2 и 5.3 получены без каких-либо
предположений о свойствах функций f , g1 , g 2 ,..., g m и структуре множе-
ства G.
      В соответствии с теоремой 5.2, если удастся найти седловую точку
функции Лагранжа (5.2), то тем самым будет решена задача (5.1), в ко-
торой все функции f и gi , i=1,2,...,m, а также множество G могут иметь
различную природу, причем х* будет точкой глобального минимума. Ес-
ли теоретически такой подход безупречен, то его реализация на практике
возможна не всегда. Дело в том, что если функции f, gi, i=1,2,...,m, и
множество G не выпуклы, то функция Лагранжа не всегда имеет седло-
вые точки. Более того, даже если указанные функции и множество вы-
пуклы и оптимальное решение задачи (5.1) существует, то в некоторых
"вырожденных" случаях соответствующая функция Лагранжа может не
иметь ни одной седловой точки.
      Подтверждением последнего может служить следующая задача, в
которой
                    n = 1, m = 1, f ( x) = − x;
                     g ( x ) = x 2 ≤ 0, G = x ∈ R {           x≥0       }
      Здесь функции f ( x) = − x, g1 ( x) = x и множество G выпуклы.
                                             2


Единственная точка х*=0 удовлетворяет ограничениям задачи; она же
является и точкой глобального минимума. Однако функция Лагранжа
L(x,λ) = –х + λх2 не имеет седловых точек (не выполняется необходимые
                                                                                        54

Страницы