Оптимизация технологических процессов. Часть 1. Метод Лагранжа и численные методы безусловной оптимизации функции одной переменной. Асламова В.С - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АГТА | Ангарск

Составители: 

Рубрика: 

. (5.9)
0))(,(
**
=xg
λ
Так как
,,...,2,1,0,...,2,1,0)( miиmixgGx
ii
=≥=≤∈∀
λ
то
,0)(
1
*
∑
=
≤
m
i
ii
xg
λ
или
(5.10)
.0))(,(
*
≤xg
λ
Неравенство (5.4) имеет место , поэтому из его правой час-
ти и из (5.9)-(5.10) получим
Gx ∈∀
.)())(,()()(
**
Gxxfxgxfxf ∈∀≤+≤
λ
Следовательно, х
*
– точка глобального минимума.
Теорема 5.3:
Для того чтобы пара (х
*
,λ
*
) являлась седловой точкой функции Ла-
гранжа (5.2), необходимо и достаточно выполнение условий
(5.11)
),,(min),(
***
λλ
xLxL
Gx ∈
=
(5.12)
,,...,2,1,0)(
*
mixg
i
=≤
. (5.13)
mixg
ii
,...,2,1,0)(
**
==⋅
λ
Необходимость. Пусть (х
*
,λ
*
) – седловая точка функции (5.2). То-
гда по определению
,),(),(
***
GxxLxL ∈∀≤
λλ
что означает справедливость равенства (5.11).
Выполнение условий (5.12) и (5.13) было показано при доказатель-
стве теоремы (5.2).
Достаточность. Пусть выполнены условия (5.11)-(5.13). Равенство
(5.11) влечет справедливость правой части неравенства (5.3) ∀x∈G. До-
кажем выполнение левой части неравенства (5.3) для всех . Для
m
R
+
∈
λ
53 
                                 (λ* , g ( x* )) = 0 .                      (5.9)
      Так как
         ∀x ∈ G   g i ( x) ≤ 0, i = 1,2,..., m и λi ≥ 0, i = 1,2,..., m,
то
                                   m

                                  ∑ λ*i gi ( x) ≤ 0,
                                  i =1

или
                                 (λ* , g ( x)) ≤ 0.                        (5.10)

      Неравенство (5.4) имеет место ∀x ∈ G , поэтому из его правой час-
ти и из (5.9)-(5.10) получим

                  f ( x* ) ≤ f ( x) + (λ* , g ( x)) ≤ f ( x) ∀x ∈ G.

      Следовательно, х* – точка глобального минимума.

     Теорема 5.3:
     Для того чтобы пара (х*,λ*) являлась седловой точкой функции Ла-
гранжа (5.2), необходимо и достаточно выполнение условий

                           L( x* , λ* ) = min L ( x, λ* ),                 (5.11)
                                          x ∈G


                           g i ( x* ) ≤ 0, i = 1,2,..., m,                 (5.12)
                        λ*i ⋅ g i ( x* ) = 0, i = 1,2,..., m .             (5.13)

      Необходимость. Пусть (х*,λ*) – седловая точка функции (5.2). То-
гда по определению
                         L( x* , λ* ) ≤ L( x, λ* ) ∀x ∈ G,

что означает справедливость равенства (5.11).
      Выполнение условий (5.12) и (5.13) было показано при доказатель-
стве теоремы (5.2).
      Достаточность. Пусть выполнены условия (5.11)-(5.13). Равенство
(5.11) влечет справедливость правой части неравенства (5.3) ∀x∈G. До-
кажем выполнение левой части неравенства (5.3) для всех λ ∈ R+ . Для
                                                             m


                                                                              53

Страницы