Оптимизация технологических процессов. Часть 1. Метод Лагранжа и численные методы безусловной оптимизации функции одной переменной. Асламова В.С - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АГТА | Ангарск

Составители: 

Рубрика: 

Пусть – декартово произведение множества G (области
определения функций f (x) и g(х), i=1,2,...,m, в задаче (5.1)) и множества
m-мерных векторов с неотрицательными координатами
m
RGП
+
×=
}
.,...,2,1,0),...,,({
21
miRR
i
m
m
m
=≥∈==
+
λλλλλ
Функция
(5.2)
,),()),(,()(),( ПxxgxfxL ∈+=
λλλ
где
∑
=
=
m
i
ii
xgxg
1
)())(,(
λλ
– скалярное произведение векторов λ и g(х), называется функцией Ла-
гранжа для выпуклой задачи оптимизации (5.1).
Точка называется седловой точкой функции Лагран-
жа если выполняются неравенства
,),(
**
Пx ∈
λ
,),(),,( ПxxL ∈
λλ
(5.3)
m
RGxxLxLxL
+
∈∈≤≤
λλλλ
,),,(),(),(
****
Условие (5.3) может быть записано также следующим образом
).,(minmax),(maxmin),(
**
λλλ
λλ
xLxLxL
Gx
RR
Gx
mm
∈
∈∈
∈
++
==
Пример 6:
Функция Лагранжа для выпуклой задачи (5.1) при
n=1, m=1, f (x)=6 – x, g(x)=х/2 – 1
имеет вид
++
∈∈
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+−= RRx
x
xxL
λλλ
,,1
5
6),(
и имеет седловую точку (5,5). Ее график изображен на рисунке 5.
В задачах с ограничениями типа равенств, как это отмечалось вы-
ше, решение следовало искать среди стационарных точек функции
L(x,
λ
). Что же касается выпуклой задачи оптимизации, то ее решение
сводится к отысканию седловой точки функции Лагранжа.
51 
                     m
      Пусть П = G × R+ – декартово произведение множества G (области
определения функций f (x) и g(х), i=1,2,...,m, в задаче (5.1)) и множества
m-мерных векторов с неотрицательными координатами

              R+m = { λ = (λ1 , λ2 ,..., λm ) ∈ R m λi ≥ 0, i = 1,2,..., m } .
      Функция
                     L( x, λ ) = f ( x) + (λ , g ( x)), ( x, λ ) ∈ П ,           (5.2)
где
                                                  m
                                  (λ , g ( x)) = ∑ λi g i ( x)
                                                  i =1

– скалярное произведение векторов λ и g(х), называется функцией Ла-
гранжа для выпуклой задачи оптимизации (5.1).
      Точка ( x , λ ) ∈ П , называется седловой точкой функции Лагран-
               * *


жа L( x, λ ), ( x, λ ) ∈ П , если выполняются неравенства

                L( x* , λ ) ≤ L( x* , λ* ) ≤ L( x, λ* ),    x ∈ G, λ ∈ R+m       (5.3)

      Условие (5.3) может быть записано также следующим образом

                  L( x* , λ* ) = min max L( x, λ ) = max min L( x, λ ).
                                 x ∈ G λ ∈ R +m            λ ∈ R +m x ∈ G


      Пример 6:
      Функция Лагранжа для выпуклой задачи (5.1) при

                       n=1, m=1, f (x)=6 – x, g(x)=х/2 – 1
имеет вид
                                         ⎛x ⎞
                   L( x, λ ) = 6 − x + λ ⎜ − 1⎟,           x ∈ R+ , λ ∈ R+
                                         ⎝5 ⎠

и имеет седловую точку (5,5). Ее график изображен на рисунке 5.
      В задачах с ограничениями типа равенств, как это отмечалось вы-
ше, решение следовало искать среди стационарных точек функции
L(x,λ). Что же касается выпуклой задачи оптимизации, то ее решение
сводится к отысканию седловой точки функции Лагранжа.

                                                                                   51

Страницы