Оптимизация технологических процессов. Часть 1. Метод Лагранжа и численные методы безусловной оптимизации функции одной переменной. Асламова В.С - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АГТА | Ангарск

Составители: 

Рубрика: 

мума функции.
Многообразие методов поиска экстремума f
0
(x) обусловлено тем,
что каждый из них использует различную информацию о способах опи-
сания функции и ее математических свойствах, как-то дифференцируе-
мость, выпуклость, число экстремумов и т.д.
6.1. Необходимые и достаточные условия экстремума функции
одной переменной
Необходимое условие:
Пусть функция f (x) непрерывна и определена на открытом множе-
стве D = {x | x
−
< x < x
+
}.
Найти управление x
*
, принадлежащее множеству D, такое, что
, (6.1)
)(min)(
0
*
0
xfxf
Dx∈
=
где D = {x | x
−
< x < x
+
}.
Пусть x
*
– локальный экстремум, тогда
(6.2)
0)('
*
0
=xf
Уравнение (6.2) – это необходимое условие экстремума функции
одной переменной. Оно выделяет только стационарные точки x
c
, в кото-
рых функция не возрастает и не убывает. В число стационарных точек x
c
входят точки min, max, перегиба функции. В точках перегиба слева от x
*
функция возрастает (убывает), а справа – убывает (возрастает).
Достаточное условие
Пусть f
0
(x) дважды дифференцируема по х, принадлежащему мно-
жеству D. Если в точке x
*
выполняется условие
(6.3)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
=
,0)("
0)('
*
0
*
0
xf
xf
то точка x
*
является точкой локального (глобального) минимума функ-
ции.
56 
мума функции.
      Многообразие методов поиска экстремума f0(x) обусловлено тем,
что каждый из них использует различную информацию о способах опи-
сания функции и ее математических свойствах, как-то дифференцируе-
мость, выпуклость, число экстремумов и т.д.


6.1. Необходимые и достаточные условия экстремума функции
одной переменной

      Необходимое условие:
      Пусть функция f (x) непрерывна и определена на открытом множе-
стве D = {x | x− < x < x+}.
      Найти управление x*, принадлежащее множеству D, такое, что

                          f 0 ( x* ) = min f 0 ( x) ,            (6.1)
                                       x∈D

где D = {x | x− < x < x+}.
      Пусть x* – локальный экстремум, тогда

                               f 0 ' ( x* ) = 0                  (6.2)

     Уравнение (6.2) – это необходимое условие экстремума функции
одной переменной. Оно выделяет только стационарные точки xc, в кото-
рых функция не возрастает и не убывает. В число стационарных точек xc
входят точки min, max, перегиба функции. В точках перегиба слева от x*
функция возрастает (убывает), а справа – убывает (возрастает).

     Достаточное условие
     Пусть f0(x) дважды дифференцируема по х, принадлежащему мно-
жеству D. Если в точке x* выполняется условие
                             ⎧⎪ f 0 ' ( x* ) = 0
                              ⎨                                  (6.3)
                              ⎪⎩ f 0 " ( x* ) > 0,
то точка x* является точкой локального (глобального) минимума функ-
ции.

                                                                   56

Страницы