Оптимизация технологических процессов. Часть 1. Метод Лагранжа и численные методы безусловной оптимизации функции одной переменной. Асламова В.С - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АГТА | Ангарск

Составители: 

Рубрика: 

5. При нарушении условия (7.3) осуществляется либо уменьшение
шага Δx и вычисление нового приближения, либо остановка
итерационной процедуры (если |Δx| ≤ eps, где eps – погреш-
ность) и точка x
k
объявляется приближенным решением x
*
экс-
тремальной задачи.
В зависимости от структуры зависимости Δx итерационные мето-
ды делятся на три группы:
1) нулевого порядка (Δx зависит от f
0
(x
k
) или от шага h);
2) первого порядка (Δx определяется через f
0
(x
k
) и f
0
'(x
k
)) (методы
одномерного градиента, тяжелого шарика);
3) второго порядка (Δx зависит от f
0
(x
k
), f
0
'(x
k
), f
0
"(x
k
)) (метод
Ньютона).
К числу методов нулевого порядка относятся методы сканирова-
ния, дихотомии, "золотого" сечения, чисел Фибоначчи и квадратичной
интерполяции.
Порядок итерационной процедуры существенно влияет на ско-
рость приближения x
k
к x
*
.
Использование в Δx информации о скорости изменения f
0
'(x
k
), в
точке x
k
, и тем более об ускорении f
0
"(x
k
) позволяет увеличивать на каж-
дой итерации шаг Δx, и расстояние (x
k
− x
*
) будет убывать тем быстрее,
чем выше порядок итерационной процедуры. Грубо говоря, число ите-
раций уменьшается приблизительно в 10 раз при увеличении порядка
метода на 1.
Применение итерационных методов высокого порядка для поиска
экстремума f
0
(x) хотя и приводит к уменьшению числа итераций k, но не
всегда позволяет сократить при этом объем необходимых вычислений на
ЭВМ, так как для плохо дифференцируемых f
0
(x) вычисление производ-
ных более трудоемко, чем вычисление самих функций. Поэтому чаще
всего используются итерационные методы нулевого и первого порядка.
60 
      5. При нарушении условия (7.3) осуществляется либо уменьшение
          шага Δx и вычисление нового приближения, либо остановка
          итерационной процедуры (если |Δx| ≤ eps, где eps – погреш-
          ность) и точка xk объявляется приближенным решением x* экс-
          тремальной задачи.
      В зависимости от структуры зависимости Δx итерационные мето-
ды делятся на три группы:
      1) нулевого порядка (Δx зависит от f0(xk) или от шага h);
      2) первого порядка (Δx определяется через f0(xk) и f0'(xk)) (методы
          одномерного градиента, тяжелого шарика);
      3) второго порядка (Δx зависит от f0(xk), f0'(xk), f0"(xk)) (метод
          Ньютона).
      К числу методов нулевого порядка относятся методы сканирова-
ния, дихотомии, "золотого" сечения, чисел Фибоначчи и квадратичной
интерполяции.
      Порядок итерационной процедуры существенно влияет на ско-
рость приближения xk к x*.
      Использование в Δx информации о скорости изменения f0'(xk), в
точке xk, и тем более об ускорении f0"(xk) позволяет увеличивать на каж-
дой итерации шаг Δx, и расстояние (xk − x*) будет убывать тем быстрее,
чем выше порядок итерационной процедуры. Грубо говоря, число ите-
раций уменьшается приблизительно в 10 раз при увеличении порядка
метода на 1.
      Применение итерационных методов высокого порядка для поиска
экстремума f0(x) хотя и приводит к уменьшению числа итераций k, но не
всегда позволяет сократить при этом объем необходимых вычислений на
ЭВМ, так как для плохо дифференцируемых f0(x) вычисление производ-
ных более трудоемко, чем вычисление самих функций. Поэтому чаще
всего используются итерационные методы нулевого и первого порядка.




                                                                      60

Страницы