Оптимизация технологических процессов. Часть 1. Метод Лагранжа и численные методы безусловной оптимизации функции одной переменной. Асламова В.С - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АГТА | Ангарск

Составители: 

Рубрика: 

Случаи, когда один или два из отрезков [a,α], [α,β], [β,b] вырожда-
ются в точку, здесь не исключаются. В частности, если α=β, то функция
f
0
(x) строго унимодальная на [а,b] (рис. 9д).
Пусть f
0
(x) унимодальная функция, заданная на интервале [а,b].
Тогда по любым двум значениям f
0
(x
1
) и f
0
(x
2
) можем указать интервал, в
котором находится точка минимума, причем этот интервал имеет мень-
шую длину, чем первоначальный.
Пусть для определенности x
1
<x
2
и возможны следующие варианты
(рис.9 а,б,в). Отбрасываемая часть интервала заштрихована.
В зависимости от стратегии выбора двух точек x
1
и x
2
на интервале
имеются различные методы поиска минимума унимодальной функции,
отличающиеся скоростью стягивания интервала неопределенности, ко-
торая содержит х
*
, к точке х
*
.
7.4. Метод дихотомии
Метод дихотомии применяется для унимодальных функций. Ме-
тод дихотомии заключается в том, что исходный интервал [а,b] делится
средней точкой на два подинтервала [а,с] и [с,b] в одном из
которых лежит точка минимума х
*
.
2/)( abс +=
Для выбора подинтервала, для хорошо дифференцируемой функ-
ции вычисляют в точке c производную f
0
'(с) и анализируют ее знак. Если
f
0
'(с)>0, то х
*
лежит слева от точки c, т.е. В отрезке [а,с]; если f
0
'(с)<0, то
х
*
лежит справа от точки c, т.е. В отрезке [с,b], а при найдена
точка минимума х
*
= с.
0)('
0
≈cf
Если f
0
(x) не дифференцируемая, то выясняется направление убы-
вания унимодальной функции. С этой целью задается точка с+h (где h>0
− малая величина, соизмеримая с ε и вычисляется ордината f
0
(с+h).
Если приращение функции , то точка х
*
лежит справа от точки c, т.е. х
*
принадлежит отрезку [с,b].
0)()()(
000
<+−=Δ hcfcfcf
Если , то точка х
*
лежит сktdf от точки c,
т.е. х
*
принадлежит отрезку [a,c].
0)()()(
000
>+−=Δ hcfcfcf
63 
       Случаи, когда один или два из отрезков [a,α], [α,β], [β,b] вырожда-
ются в точку, здесь не исключаются. В частности, если α=β, то функция
f0(x) строго унимодальная на [а,b] (рис. 9д).
       Пусть f0(x) унимодальная функция, заданная на интервале [а,b].
Тогда по любым двум значениям f0(x1) и f0(x2) можем указать интервал, в
котором находится точка минимума, причем этот интервал имеет мень-
шую длину, чем первоначальный.
       Пусть для определенности x10, то х*лежит слева от точки c, т.е. В отрезке [а,с]; если f0'(с)<0, то
х* лежит справа от точки c, т.е. В отрезке [с,b], а при f 0 ' (c) ≈ 0 найдена
точка минимума х* = с.
      Если f0(x) не дифференцируемая, то выясняется направление убы-
вания унимодальной функции. С этой целью задается точка с+h (где h>0
− малая величина, соизмеримая с ε и вычисляется ордината f0(с+h).
      Если приращение функции Δf 0 (c) = f 0 (c) − f 0 (c + h) < 0 , то точка х*
лежит справа от точки c, т.е. х* принадлежит отрезку [с,b].
      Если Δf 0 (c) = f 0 (c) − f 0 (c + h) > 0 , то точка х* лежит сktdf от точки c,
т.е. х* принадлежит отрезку [a,c].

                                                                                  63

Страницы