Оптимизация технологических процессов. Часть 1. Метод Лагранжа и численные методы безусловной оптимизации функции одной переменной. Асламова В.С - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АГТА | Ангарск

Составители: 

Рубрика: 

τ
=
−
−
=
−
−
1
11
xb
ax
ab
xb
(7.4)
Представим интервал [а,b] как совокупность двух отрезков:
(7.5)
11
xbaxab −+−=−
Разделив уравнение (7.5) на (b-а), получим:
1
11
=
−
−
+
−
−
ab
xb
ab
ax
.
Так как и
τ
=−− )/()(
1
abxb
2
1
11
τ
=
−
−
⋅
−
−
xb
xb
ab
ax
, имеем
корни которого определяются по формуле:
,1
2
=+
ττ
,1
4
1
2
1
2,1
++
−
=
τ
т.е.
.618,0
2
15
≈
−
=
τ
Из уравнения (7.4) следует
. (7.6)
)(
1
abbx −−=
τ
Проведем "золотое" сечение относительно точки а, получим
τ
=
−
−
=
−
−
ax
xb
ab
ax
2
22
. (7.7)
Из уравнения (7.7) получим формулу для определения точки x
2
:
. (7.8)
)(
2
abax −+=
τ
Заметим, что точка x
1
производит "золотое" сечение интервала
[а,x
2
], а точка x
2
– интервала [x
1
,b].
Для унимодальной функции, зная значения функции в точках зо-
лотого сечения f
0
(x
1
) и f
0
(x
2
), можно определить интервал неопределен-
ности, в котором находится х
*
. После выбора на оставшемся интервале
нужно определить только одну точку, производящую "золотое" сечение.
Для выбранного интервала [а,x
2
] следует положить b=x
2
, x
2
=x
1
и пересчи-
65 
                               b − x1 x1 − a
                                     =       =τ                       (7.4)
                               b − a b − x1

     Представим интервал [а,b] как совокупность двух отрезков:

                              b − a = x1 − a + b − x1                 (7.5)

     Разделив уравнение (7.5) на (b-а), получим:

                                x1 − a b − x1
                                      +       =1 .
                                b−a b−a

                                           x −a b−x
     Так как (b − x1 ) /(b − a) = τ и b − a ⋅ b − x = τ , имеем τ + τ = 1,
                                       1           1   2         2

                                                   1

корни которого определяются по формуле:

                         −1   1               5 −1
               τ1, 2 =      +   + 1, т.е. τ =      ≈ 0,618 .
                         2    4                2

     Из уравнения (7.4) следует

                                x1 = b − τ (b − a) .                  (7.6)

     Проведем "золотое" сечение относительно точки а, получим

                               x2 − a b − x2
                                     =        =τ .                    (7.7)
                               b−a     x2 − a

     Из уравнения (7.7) получим формулу для определения точки x2:

                                x2 = a + τ (b − a) .                  (7.8)

        Заметим, что точка x1 производит "золотое" сечение интервала
[а,x2], а точка x2 – интервала [x1,b].
        Для унимодальной функции, зная значения функции в точках зо-
лотого сечения f0(x1) и f0(x2), можно определить интервал неопределен-
ности, в котором находится х*. После выбора на оставшемся интервале
нужно определить только одну точку, производящую "золотое" сечение.
Для выбранного интервала [а,x2] следует положить b=x2, x2=x1 и пересчи-

                                                                        65

Страницы