Оптимизация технологических процессов. Часть 1. Метод Лагранжа и численные методы безусловной оптимизации функции одной переменной. Асламова В.С - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АГТА | Ангарск

Составители: 

Рубрика: 

)()(
0
1
0
kk
xfxf <
+
.
Начальное приближение х
0
задается из множества
{
}
bxaxD ≤≤= |
.
Уравнение (7.9) является уравнением градиентного спуска. Итера-
ционная процедура уравнения (7.9) продолжается до тех пор, пока
,)('
0
ε
>
k
xf
где ε – малая положительная величина, характеризующая
крутизну в окрестности точки х
*
.
)(
0
xf
Последовательность точек {х
k
}, k = 0,1,2… сходится к точке х
*
со
скоростью пропорциональной величине
,)('
0
k
xf
т.е. зависит от "крутиз-
ны" функции, чем больше, df
0
/dx тем быстрее {х
k
} стремится к точке ми-
нимума.
В ряде случаев метод градиента не позволяет найти точки локаль-
ного минимума функции или работает с низкой эффективностью.
Если – "пологая" функция, то величина – мала, величина
тоже будет мала и итерационная процедура медленно сходится к
х
*
.
)(
0
xf '
0
f
'
0
fh ⋅
f (x)
x
f (x)
f '(x)
x
f '(x)
x
*
Рис.10. Пологая функция
Как видно из рисунка 10, справа от точки локального минимума х
*
первая производная имеет положительные значения, а слева от х
*
– от-
рицательные значения ( ).
0)(' <xf
При пологом характере изменения первой производной, которое
67 
                                  f 0 ( x k +1 ) < f 0 ( x k ) .

      Начальное приближение х0 задается из множества

                             D ={ x|a≤ x≤b } .

     Уравнение (7.9) является уравнением градиентного спуска. Итера-
ционная процедура уравнения (7.9) продолжается до тех пор, пока
 f 0 ' ( x k ) > ε , где ε – малая положительная величина, характеризующая

крутизну f 0 ( x) в окрестности точки х*.
      Последовательность точек {хk}, k = 0,1,2                     сходится к точке х* со
                                             k
скоростью пропорциональной величине f 0 ' ( x ) , т.е. зависит от "крутиз-
ны" функции, чем больше, df0/dx тем быстрее {хk} стремится к точке ми-
нимума.
      В ряде случаев метод градиента не позволяет найти точки локаль-
ного минимума функции или работает с низкой эффективностью.
      Если f 0 ( x) – "пологая" функция, то величина f 0 ' – мала, величина
h ⋅ f 0 ' тоже будет мала и итерационная процедура медленно сходится к
х*.
            f (x)                                         f '(x)



                          f (x)
                                                                                   f '(x)


                                         x                   x*                        x

                          Рис.10. Пологая функция

     Как видно из рисунка 10, справа от точки локального минимума х*
первая производная имеет положительные значения, а слева от х* – от-
рицательные значения ( f ' ( x) < 0 ).
      При пологом характере изменения первой производной, которое

                                                                                        67

Страницы