Оптимизация технологических процессов. Часть 1. Метод Лагранжа и численные методы безусловной оптимизации функции одной переменной. Асламова В.С - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АГТА | Ангарск

Составители: 

Рубрика: 

может наблюдаться вблизи х
*
, значение f '(x) может изменяться незначи-
тельно, при существенном изменении аргумента. В этом случае число
итераций будет очень большим. Чтобы избежать медленного перемеще-
ния к точке х
*
шаг h следует увеличить вдвое (h = 2·h), либо использо-
вать итерационные процедуры второго порядка.
Если крутой участок расположен вблизи точки х
*
(рис.11), то в
итерационной процедуре может возникнуть явление "зацикливания",
когда производные и примерно равны и имеют разные
знаки. Для борьбы с явлением "зацикливания" уменьшают параметр h,
например, вдвое (h=h/2), или переходят на другие методы поиска экс-
тремума.
)('
0
k
xf )('
1
0
+k
xf
f '(x)
x
f '(x
k
)
x
k
x
*
x
k+1
f '(x
k+1
)
f '(x
k
) ≈ -f '(x
k+1
)
f (x)
x
x
k
x
*
x
k+1
Рис.11. Функция с крутым участком вблизи точки х
*
При трудном вычислении производной используют вместо ко-
нечную разность
'
0
f
,/))()((/
000
δ
δ
kk
xfxfdxdf −≈
+
где величина параметра δ мала по сравнению с x
k
.
Величину
δ
находят из условия, что шаги 2
δ
и 3
δ
не должны вли-
ять на величину .
dxdf /
0
Алгоритм поиска точки локального минимума:
1. Ввод начального приближения x
0
, точности
ε
, величины шага h,
(при использовании конечных разностей ввод значения
δ
).
2. Вычисляется значение критерия f
0
= f
0
(x
0
), производная f
0
' = f
0
(x
0
)
или конечная разность
).()()(
000000
xfxfxf −+=Δ
δ
68 
может наблюдаться вблизи х*, значение f '(x) может изменяться незначи-
тельно, при существенном изменении аргумента. В этом случае число
итераций будет очень большим. Чтобы избежать медленного перемеще-
ния к точке х* шаг h следует увеличить вдвое (h = 2·h), либо использо-
вать итерационные процедуры второго порядка.
      Если крутой участок расположен вблизи точки х* (рис.11), то в
итерационной процедуре может возникнуть явление "зацикливания",
                           k             k +1
когда производные f 0 ' ( x ) и f 0 ' ( x ) примерно равны и имеют разные
знаки. Для борьбы с явлением "зацикливания" уменьшают параметр h,
например, вдвое (h=h/2), или переходят на другие методы поиска экс-
тремума.

               f (x)                                      f '(x)


                                                         f '(xk)                f '(xk) ≈ -f '(xk+1)
                                                  xk+1
          xk+1 x* xk                  x                     x*         xk                              x
                                                                    f '(xk+1)

             Рис.11. Функция с крутым участком вблизи точки х*

       При трудном вычислении производной используют вместо f 0 ' ко-
нечную разность
                            df 0 / dx ≈ ( f 0 ( x k +δ ) − f 0 ( x k )) / δ ,
где величина параметра δ мала по сравнению с xk.
      Величину δ находят из условия, что шаги 2δ и 3δ не должны вли-
ять на величину df 0 / dx .

      Алгоритм поиска точки локального минимума:
      1. Ввод начального приближения x0, точности ε, величины шага h,
(при использовании конечных разностей ввод значения δ).
      2. Вычисляется значение критерия f0 = f0(x0), производная f0' = f0(x0)
или конечная разность Δf 0 ( x0 ) = f 0 ( x0 + δ ) − f 0 ( x0 ).
                                                                                                           68

Страницы