Оптимизация технологических процессов. Часть 1. Метод Лагранжа и численные методы безусловной оптимизации функции одной переменной. Асламова В.С - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АГТА | Ангарск

Составители: 

Рубрика: 

)(
]1[
][
1
ab
nP
nP
bx −
+
−=
(Первое
)(
3
2
1
abbx −−=
, второе
)(
5
3
1
abbx −−=
и т.д.)
5. Определяем координаты точки x
2
, которая является зеркальным
отражением точки x
1
относительно центра отрезка:
)(
]1[
][
2
ab
nP
nP
ax −
+
+=
6. Если условие f(x
1
) > f(x
2
) выполняется, то a = x
1
, иначе b = x
2
.
7. n = n + 1
8. Если условие окончания поиска |b − a| ≤
ε
не выполняется, то
переходим к следующему числу Фибоначчи (на п.3).
9. В качестве минимального значения принимаем ту из точек a
или b, в которой целевая функция имеет наименьшее значение.
7.13. Метод Ньютона 2
-го
порядка
Метод Ньютона используется для гладких f
0
(x) функций. Миними-
зируемая функция f
0
(x) в малой окрестности произвольной точки х
0
, рас-
положенной вблизи точки минимума х
*
, может быть аппроксимирована
усеченным рядом Тейлора:
(7.19)
....)()("
5,0)()(')()(
200
0
00
0
0
00
+−⋅⋅
⋅+−⋅+≈
xxxf
xxxfxfxf
Продифференцируем (7.19) по х, учитывая, что f
0
(x
0
) и f
0
'(x
0
) явля-
ются постоянными величинами. Применяя необходимое условие опти-
мальности получим:
)()(")('0)('
00
0
0
00
xxxfxfxf −⋅+≈=
.
Следовательно, выражение для вычисления приближенного значе-
ния точки экстремума будет иметь вид:
84 
                                                    P[ n ]
                                     x1 = b −                (b − a )
                                                   P[ n + 1]
                        2                            3
        (Первое x1 = b − 3 (b − a ) , второе x1 = b − 5 (b − a ) и т.д.)
     5. Определяем координаты точки x2, которая является зеркальным
        отражением точки x1 относительно центра отрезка:
                                                     P[ n ]
                                    x2 = a +                  (b − a )
                                                    P[ n + 1]
     6. Если условие f(x1) > f(x2) выполняется, то a = x1, иначе b = x2.
     7. n = n + 1
     8. Если условие окончания поиска |b − a| ≤ ε не выполняется, то
        переходим к следующему числу Фибоначчи (на п.3).
     9. В качестве минимального значения принимаем ту из точек a
        или b, в которой целевая функция имеет наименьшее значение.


7.13. Метод Ньютона 2-го порядка

     Метод Ньютона используется для гладких f0(x) функций. Миними-
зируемая функция f0(x) в малой окрестности произвольной точки х0, рас-
положенной вблизи точки минимума х*, может быть аппроксимирована
усеченным рядом Тейлора:

                  f 0 ( x) ≈ f 0 ( x 0 ) + f 0 ' ( x 0 ) ⋅ ( x − x 0 ) + 0,5 ⋅
                                                                                    (7.19)
                                 ⋅ f 0 " ( x 0 ) ⋅ ( x − x 0 ) 2 + ... .

     Продифференцируем (7.19) по х, учитывая, что f0(x0) и f0'(x0) явля-
ются постоянными величинами. Применяя необходимое условие опти-
мальности получим:

                   f 0 ' ( x) = 0 ≈ f 0 ' ( x 0 ) + f 0 " ( x 0 ) ⋅ ( x − x 0 ) .

      Следовательно, выражение для вычисления приближенного значе-
ния точки экстремума будет иметь вид:


                                                                                       84

Страницы