Вычислительная математика. Ч. 1. Асламова В.С - 3 стр.

    1. Элементы общей теории приближенных методов                               повышению точности результатов, а лишь увеличит стоимость расчетов из-за
                                                                                необоснованного увеличения объема вычислении.
                1.1. Источники и виды погрешности                                  При вычислениях с помощью ЭВМ неизбежны погрешности округлений,
                                                                                связанные с ограниченностью разрядной сетки машины. Обычно после
   На некоторых этапах решения задачи на ЭВМ могут возникать погрешности,       выполнения операции производится не округление результата, а простое
искажающие результаты вычислений. Оценка степени достоверности                  отбрасывание лишних разрядов с целью экономии машинного времени. Правда,
получаемых результатов является важнейшим вопросом при организации              в современных машинах предусмотрена свобода выбора программистом способа
вычислительных работ. Это особенно важно при отсутствии опытных или других      округления; соответствующими средствами располагают и некоторые
данных для проверки адекватности модели.                                        алгоритмические языки.
   Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами:                Максимальная относительная погрешность при округлении есть δ max=0.5α1-k,
     1. Математическое описание задачи является неточным, в частности,          где α - основание системы счисления, k—количество разрядов мантиссы числа.
        неточно заданы исходные данные.                                         При простом отбрасывании лишних разрядов эта погрешность увеличивается
     2. Применяемый для решения метод часто не является точным: получение       вдвое.
        точного решения возникающей математической задачи требует                  В современных машинах с памятью, измеряемой в байтах, принята
        неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических           шестнадцатеричная система счисления, и любое число с плавающей точкой
        операций, и, поэтому вместо получения точного решения задачи
                                                                                содержит шесть значащих цифр. Следовательно, α =16, k = 6, максимальная
        приходится прибегать к приближенному.
                                                                                погрешность округления αmax= 0.5*16-5 ≈ 0.5*10-8.
     3. При вводе данных в машину, при выполнении арифметических
                                                                                   Несмотря на то что при решении больших задач выполняются миллиарды
        операций и при выводе данных производятся округления. Погрешности,
                                                                                операций, это вовсе не означает механического умножения погрешности при
        соответствующие этим причинам, называют:
                                                                                одном округлении на число операций, так как при отдельных действиях
      1) неустранимой погрешностью,
                                                                                погрешности могут компенсировать друг друга (например, при сложении чисел
      2) погрешностью метода,
                                                                                разных знаков). Вместе с тем иногда погрешности округлений в сочетании с
      3) вычислительной погрешностью.
                                                                                плохо организованным алгоритмом могут сильно исказить результаты.
   Часто неустранимую погрешность разделяют на две части:
                                                                                   Перевод чисел из одной системы счисления в другую также может быть
       a) неустранимой погрешностью называют лишь погрешность,
                                                                                источником погрешности из-за того, что основание одной системы счисления не
    являющуюся следствием неточности задания числовых данных, входящих в
                                                                                является степенью основания другой (например, 10 и 2). Это может привести к
    математическое описание задачи;
                                                                                тому, что в новой системе счисления число становится иррациональным.
       в) погрешность, являющуюся следствием несоответствия
                                                                                   Например, число 0.1 при переводе в двоичную систему счисления примет вид
    математического описания задачи реальности, называют погрешностью
                                                                                0.1=0.00011001100 Может оказаться, что с шагом 0.1 нужно при вычислениях
    математической модели.
                                                                                пройти отрезок [0,1] от х=1 до х= 0; десять шагов не дадут точного значения х=0.
   Математическая модель, принятая для описания данного процесса или
явления, может внести существенные погрешности, если в ней не учтены какие-
                                                                                                   Абсолютная и относительная погрешности
либо существенные черты          рассматриваемой       задачи. В частности,
математическая модель может прекрасно работать в одних условиях и быть
                                                                                   Если А – точное значение некоторой величины, а а – известное приближение
совершенно неприемлемой в других; поэтому важно правильно учитывать
                                                                                к нему, то абсолютной погрешностью приближения а числа А называют
область её применимости.
   Численный метод также является источником погрешностей. Это связано,         некоторую величину Δ(а) удовлетворяющую условию:
например, с заменой интеграла суммой, усечением рядов при вычислениях                                            ⏐А - а⏐≤ Δ(А).
значений функций, интерполированием табличных данных и т. п. Как правило,          Относительной погрешностью называют некоторую величину δ(А), для
погрешность численного метода регулируема, т. е. она может быть уменьшена до    которой выполняется условие:
любого разумного значения путем изменения некоторого параметра (например,                                       а−А
шага интегрирования, числа членов усеченного ряда и т.п.). Погрешность метода                                        ≤ δ (а ) .
                                                                                                                 а
обычно стараются довести до величины, в несколько раз меньшей погрешности
исходных данных. Дальнейшее снижение погрешности не приведет к                     Относительную погрешность часто выражают в процентах.
                                      5                                                                                6