Вычислительная математика. Ч. 1. Асламова В.С - 5 стр.

   Рассмотрим еще один пример неустойчивого                            алгоритма.   Построим       Значение интеграла I9 не может быть отрицательным, поскольку
численный метод вычисления интеграла                                                           подынтегральная функция x9ex-1 на всем отрезке интегрирования [0,1]
                                 1                                                             неотрицательна. Исследуем источник погрешности. Видим, что округление в I1
                                 ∫
                          I n = x n e x −1dx ,
                                 0
                                                             n=1,2,                            дает погрешность, равную примерно лишь 4.4*10-7. Однако на каждом этапе эта
                                                                                               погрешность умножается на число, модуль которого больше единицы (-2, -3,...,-
Интегрируем по частям, для этого используем следующую формулу:                                 9), что в итоге дает 9!. Это и приводит к результату, не имеющему смысла. Здесь
                                     b                       b                                 снова причиной накопления погрешностей является алгоритм решения задачи,
                                                   b                                           который оказался неустойчивым.
                                I = ∫ uvdu    = uv a     − ∫ vdu
                                                                                                   Численный алгоритм (метод) называется корректным в случае
                                     a                       a
                                                                                               существования и единственности численного решения при любых значениях
Получаем                                                                                       исходных данных, а также в случае устойчивости этого решения относительно
                            1                            1
                                                     1                1                        погрешностей исходных данных.
                            ∫                        0   ∫
                        I1 = xe x −1dx = xe x −1 − e x −1dx =
                                                                      e
                                                                        ,
                            0                            0                                        Понятие сходимости. При анализе точности вычислительного процесса
                    1                                1                                         одним из важнейших критериев является сходимость численного метода. Она
                                             1
                   ∫0
                                             0       ∫
              I 2 = x 2 e x −1dx = x 2 e x −1 − 2 xe x −1dx = 1 − 2 I1 ,
                                                     0
                                                                                               означает близость получаемого численного решения задачи к истинному
                                                                                               решению. Строгие определения разных оценок близости могут быть даны лишь с
             LLLLLLLLLLLLLLLLLLL                                                               привлечением аппарата функционального анализа. Здесь мы ограничимся
                    1                                1                                         некоторыми понятиями сходимости, необходимыми для понимания
                                             1                                                 последующего материала.
                   ∫0
                                             0       ∫
              I n = x n e x −1dx = x n e x −1 − n x n −1e x −1dx = 1 − nI n −1.
                                                     0
                                                                                                  Рассмотрим понятие сходимости итерационного процесса. Этот процесс
                                                                                               состоит в том, что для решения некоторой задачи и нахождения искомого
Пользуясь полученным рекуррентным соотношением, вычисляем:                                     значения определяемого параметра (например, корня нелинейного уравнения)
                                                                                               строится метод последовательных приближений. В результате многократного
                                          I1=0.367879,                                         повторения этого процесса (или итераций) получаем последовательность
                                          I2=0.263242,                                         значении х1, х2, , хn,  эта последовательность сходится к точному решению
                                          I3=0.207274,                                         х=a, если при неограниченном возрастании числа итераций предел этой
                                          I4=0.170904,
                                                                                               последовательности существует и равен a: lim xn = a . B этом случае имеем
                                          I5=0.145480,
                                                                                                                                             n→∞
                                          I6=0.127120,
                                                                                               сходящийся численный метод.
                                          I7=0.110160,
                                                                                                  Другой подход к понятию сходимости используется в методах дискретизации.
                                          I8=0.118720,
                                                                                               Эти методы заключаются в замене задачи с непрерывными параметрами на
                                         I9=-0.0684800
                                                                                               задачу, в которой значения функций вычисляются в фиксированных точках. Это
                                                                                               относится, в частности, к численному интегрированию, решению
                                                                                               дифференциальных уравнений и т. п. Здесь под сходимостью метода
                                                                                               понимается стремление значений решения дискретной модели задачи к
                                                                                               соответствующим значениям решения исходной задачи при стремлении к нулю
                                                                                               параметра дискретизации (например, шага интегрирования).
                                                                                                  Таким образом, для получения решения задачи с необходимой точностью, ее
                                                                                               постановка должна быть корректной, а используемый численный метод должен
                                                                                               обладать устойчивостью и сходимостью.



                                                 9                                                                                   10