Вычислительная математика. Ч. 1. Асламова В.С - 4 стр.

   Информацию о том, что а является приближенным значением числа А с                                uxx+uyy = 0, u(x, 0) = 0, uy(x, 0) = ϕ(x).
абсолютной погрешностью Δ(а), принято записывать в виде:                           Входными данными является ϕ(x) Если ϕ ( x) = 0 , то задача имеет только
                                 А = а ± Δ(а).                                                                                            1
   Числа а и Δ(а) записываются с одинаковым количеством знаков после            тривиальное решение u ( x, y ) = 0 . Если же ϕ n ( x) =     cos nx , то решением
запятой.                                                                                                                                  n
   Информацию о том, что а является приближенным значением числа А с            будет
относительной погрешностью δ(а), записывают в виде:                                                                  1
                                                                                                         u n ( x, y ) = cos nx ⋅ shny .
                                А = а(1± δ(а)).                                                                      n2
                                                                                   Очевидно, ϕ n (x) равномерно сходятся к ϕ (x) при n → ∞ ; но при этом, если
                           Погрешность функции
                                                                                y ≠ 0 , то un (x,y) неограниченно и никак не может сходиться к u ( x, y ) . Этот
   Пусть искомая величина Y является функцией параметров а1, а2, , аn; т.е. Y   пример связан с физической задачей о тяжелой жидкости, налитой поверх
= Y(a), и известна область G в пространстве переменных а1, а2, , аn, которой    легкой; при этом действительно возникает релей-тейлоровская неустойчивость.
принадлежат параметры. Необходимо получить приближение y к Y и оценить его         Отсутствие устойчивости обычно означает, что даже незначительные
погрешность.                                                                    погрешности в исходных данных приводят к большим погрешностям в решении
   Если y – приближённое значение величины Y, то предельной абсолютной          или вовсе к неверному результату. О подобных устойчивых задачах также
погрешностью А(у) называют наилучшую при имеющейся информации оценку            говорят, что они чувствительны к погрешностям исходных данных.
погрешности величины у:                                                            Примером такой задачи является отыскание действительных корней
                                                                                уравнения вида:
                      A ( y ) = sup Y ( a1 , a 2 ,..., a n ) − y .      (1.1)
                            a∈G                                                                                   tg(x) – x = 1.
  Предельной относительной погрешностью δ(у) называют величину                     Изменение аргумента х на малую величину Δх может привести к
                                        A( y ) .                                существенному изменению функции.
                               δ ( y) =
                                         y
                                                                                   Корректность. Задача называется поставленной корректно, если для любых
                                                                                значений исходных данных из некоторого класса ее решение существует,
                 Устойчивость, корректность, сходимость                         единственно и устойчиво по исходным данным.
                                                                                   Рассмотренные выше примеры неустойчивой задачи являются некорректно
   Устойчивость. Рассмотрим погрешности исходных данных. Поскольку это          поставленными. Применять для решения таких задач численные методы, как
так называемые неустранимые погрешности и вычислитель но может с ними           правило, нецелесообразно, поскольку возникающие в расчетах погрешности
бороться, то нужно хотя бы иметь представление об их влиянии па точность        округлений будут сильно возрастать в ходе вычислений, что приведет к
окончательных результатов. Конечно, мы вправе надеяться на то, что              значительному искажению результатов.
погрешность результатов имеет порядок погрешности исходных данных. Всегда          Вместе с тем отметим, что в настоящее время развиты методы решения
ли это так? К сожалению, нет. Некоторые задачи весьма чувствительны к           некоторых некорректных задач. Это в основном так называемые методы
неточностям в исходных данных. Эта чувствительность характеризуется так         регуляризации. Они основываются на замене исходной задачи корректно
называемой устойчивостью.                                                       поставленной задачей. Последняя содержит некоторый параметр, при
   Пусть в результате решения задачи по исходному значению величины х           стремлении которого к нулю решение этой задачи переходит в решение
находится значение искомой величины у. Если исходная величина имеет             исходной задачи.
абсолютную погрешность Δх, то решение имеет погрешность Δу. Если решение
непрерывно зависит от входных данных, т.е. всегда Δy → 0 при Δx → 0 , то           Неустойчивость методов. Иногда, даже если задача устойчива, то
задача называется устойчивой по входным данным.                                 численный алгоритм может быть неустойчивым. Например, если производные
   Рассмотрим классический пример неустойчивости – задачу Коши для              заменяются разностями, то приходится вычитать близкие числа и сильно
эллиптического уравнения в полуплоскости y≥0:                                   теряется точность. Эти неточные промежуточные результаты используются в
                                                                                дальнейших вычислениях, и ошибки могут сильно нарастать.

                                     7                                                                                    8