Вычислительная математика. Ч. 1. Асламова В.С - 6 стр.

                                                                         2. Методы решения нелинейных уравнений и систем
                   1.2. Контрольные вопросы
                                                                            Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида f(x)=0 встречается в
                                                                        различных областях научных исследований (здесь f(x) - некоторая непрерывная
1. Перечислите виды погрешностей.                                       функция). Нелинейные уравнения можно разделить на два класса -
2. Чему равна предельная относительная погрешность произведения или     алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называются
   частного?                                                            уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные,
3. Назовите требования к оценкам точности алгоритма.                    иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической
4. Понятие сходимости, устойчивости и корректности приближённого        функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические,
   метода.                                                              показательные, логарифмические и др.), называются трансцендентными.
5. Назовите причины возникновения погрешностей.                             Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые и итерационные.
6. Назовите единицы измерения абсолютной и относительной погрешности.   Прямые методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного
7. Может ли погрешность быть отрицательным числом?                      соотношения (формулы).
8. Какая погрешность позволяет судить о качестве произведенных              Однако встречающиеся на практике уравнения не удается решить такими
   измерений?                                                           простыми методами. Для их решения используются итерационные методы, т.е.
                                                                        методы последовательных приближений. Алгоритм нахождения корня уравнения
                                                                        с помощью итерационного метода состоит из двух этапов:
                                                                           а) отыскания приближенного значения корня или содержащего его отрезка;
                                                                          б) уточнения приближенного значения любым итерационным методом до
                                                                              некоторой заданной степени точности.
                                                                            Приближённое значение корня (начальное приближение) может быть найдено
                                                                        различными способами: из физических соображений, из решения аналогичной
                                                                        задачи при других исходных данных, с помощью графических или
                                                                        аналитических методов.
                                                                            Если такие априорные оценки исходного приближения к корню провести не
                                                                        удаётся, то находят две близко расположенные точки a и b, в которых
                                                                        непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков, то есть f(a)*f(b)<0.
                                                                        В этом случае между точками a и b есть, по крайней мере, одна точка, в которой
                                                                        f(x)=0. В качестве начального приближения x0 можно принять середину отрезка
                                                                        [a, b], то есть x0=(a+b)/2.
                                                                            Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального
                                                                        приближения x0. Каждый такой шаг называется итерацией. В результате
                                                                        итераций находится последовательность приближённых значений корня x1, x2,...,
                                                                        xn. Если эти значения с ростом n приближаются к истинному значению корня, то
                                                                        говорят, что итерационный процесс сходится.

                                                                                     2.1. Графический метод отделения корней
                                                                           Отделение корней – отыскание начального приближения корней, сводится к
                                                                        отысканию достаточно малых областей, в которых находится только один
                                                                        корень.
                                                                           Для отделения корней полезна известная теорема из математического
                                                                        анализа.
                                11                                                                            12