ВУЗ:
Составители:
13
1
1
1
1
2
2
2
2
y
1
y
2
Рис.1.
Теорема 1. Если непрерывная функция принимает значения разных знаков на
концах отрезка [a, b], т.е. f(a)*f(b) < 0, то внутри этого отрезка содержится
по меньшей мере один корень уравнения f(x)=0.
Корень заведомо будет единственным, если производная f '(x) существует и
сохраняет постоянный знак внутри интервала
(а, b).
Для отделения корней можно воспользоваться графическим путем. Для этого
представим уравнение
f(x)= 0 в виде x =
ϑ
(x), и строим графики функций у
1
= x
и y
2
=
ϑ
(x). Тогда абсциссы точек пересечения этих кривых и будут
действительными корнями уравнения
f(x) = 0.
Пример. Отделить корни уравнения
x
3
- 4x + 2 = 0.
Перепишем уравнение в виде
x(x
2
- 4) + 2 = 0; x = -2 / (x
2
- 4).
Построим графики функций
y
1
= x; y
2
= -2 / (x
2
- 4).
Абсциссы точек пересечения кривых
y
1
, y
2
дают приближенные значения
корней
x
2
≈
0,5; x
2
≈
1,6; x
3
≈
-2,2 (рис.1).
Таким образом, функция имеет три корня, каждый из которых нужно
уточнить выбранным численным методом. Для уточнения корня выбираем
поочерёдно три интервала
x
1
∈[-2.5; -2.05], x
2
∈[0; 0.8], x
3
∈[1.2; 1.8].
14
2.2. Метод половинного деления
(метод бисекции, метод дихотомии)
Этот метод требует непрерывности функции
f(x), кроме того, на концах
отрезка [
a, b] функция должна иметь разные знаки.
В качестве начального приближения принимаем середину отрезка
2
ba
c
+
=
.
Для определения отрезка, содержащего корень, проверяем условие:
f(a)
⋅
f(с)<0 (2.1)
Можно сравнивать значения функции на концах отрезка [
с, b].
Если условие (2.1) выполняется, то корень лежит в отрезке [
a, c], поэтому
нужно передвинуть правую границу
b в точку c , т.е. b=c.
Если условие (2.1) не выполняется, то корень лежит в отрезке [
с, b] и следует
поменять левую границу
a=c.
Проверяем условие выхода из цикла: «длина отрезка меньше или равна
заданной точности?»:
|b-a|≤
ε
(2.2)
Если условие (2.2) не выполняется, то снова делим отрезок пополам,
определяем отрезок, содержащий корень и т.д. После каждой итерации отрезок,
содержащий корень уменьшается вдвое, т.е. после
n итераций он сократится в 2
n
раз. На рис.2 приведена графическая интерпретация метода половинного
деления, а на рис.3 – блок-схема метода половинного деления.
Метод половинного деления всегда сходится, то есть при его использовании
решение получается всегда, причём с заданной точностью. Требуемое обычно
большее число итераций по сравнению с некоторыми другими методами не
является препятствием к применению этого мет
ода, если каждое вычисление
значения функции
f(x) несложно.
a
b
f(x)
f(a)
f(b)
0
f(x)
Рис.2 Геометрическая интерпретация метода
половинного деления
c
f(c
0
)
b
c
c
f(c
1
)
х
Теорема 1. Если непрерывная функция принимает значения разных знаков на 2.2. Метод половинного деления
концах отрезка [a, b], т.е. f(a)*f(b) < 0, то внутри этого отрезка содержится
по меньшей мере один корень уравнения f(x)=0. (метод бисекции, метод дихотомии)
Корень заведомо будет единственным, если производная f '(x) существует и
сохраняет постоянный знак внутри интервала (а, b).
Для отделения корней можно воспользоваться графическим путем. Для этого Этот метод требует непрерывности функции f(x), кроме того, на концах
отрезка [a, b] функция должна иметь разные знаки.
представим уравнение f(x)= 0 в виде x = ϑ(x), и строим графики функций у1 = x
a+b
и y2 = ϑ(x). Тогда абсциссы точек пересечения этих кривых и будут В качестве начального приближения принимаем середину отрезка c = .
действительными корнями уравнения f(x) = 0. 2
Пример. Отделить корни уравнения Для определения отрезка, содержащего корень, проверяем условие:
x3 - 4x + 2 = 0. f(a)⋅f(с)<0 (2.1)
Перепишем уравнение в виде Можно сравнивать значения функции на концах отрезка [с, b].
x(x2 - 4) + 2 = 0; x = -2 / (x2 - 4). Если условие (2.1) выполняется, то корень лежит в отрезке [a, c], поэтому
нужно передвинуть правую границу b в точку c , т.е. b=c.
Построим графики функций Если условие (2.1) не выполняется, то корень лежит в отрезке [с, b] и следует
y1 = x; y2 = -2 / (x2 - 4). поменять левую границу a=c.
Абсциссы точек пересечения кривых y1, y2 дают приближенные значения Проверяем условие выхода из цикла: «длина отрезка меньше или равна
корней x2 ≈ 0,5; x2 ≈1,6; x3 ≈ -2,2 (рис.1). заданной точности?»:
|b-a|≤ε (2.2)
y1
f(x)
f(x)
f(b)
f(c1 )
2 х
a c
1 0 c c b
2 1 1 2 f(c0 )
1
f(a)
2
Рис.2 Геометрическая интерпретация метода
y2 половинного деления
Если условие (2.2) не выполняется, то снова делим отрезок пополам,
Рис.1. определяем отрезок, содержащий корень и т.д. После каждой итерации отрезок,
содержащий корень уменьшается вдвое, т.е. после n итераций он сократится в 2n
Таким образом, функция имеет три корня, каждый из которых нужно раз. На рис.2 приведена графическая интерпретация метода половинного
уточнить выбранным численным методом. Для уточнения корня выбираем деления, а на рис.3 блок-схема метода половинного деления.
поочерёдно три интервала x1∈[-2.5; -2.05], x2∈[0; 0.8], x3∈[1.2; 1.8]. Метод половинного деления всегда сходится, то есть при его использовании
решение получается всегда, причём с заданной точностью. Требуемое обычно
большее число итераций по сравнению с некоторыми другими методами не
является препятствием к применению этого метода, если каждое вычисление
значения функции f(x) несложно.
13 14
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- …
- следующая ›
- последняя »
