Вычислительная математика. Ч. 1. Асламова В.С - 8 стр.

                                                                                                     2.3. Метод простой итерации
                               Начало                                                                2.3.1. Решение нелинейных уравнений
                                                                                Для использования этого метода исходное нелинейное уравнение f(x)=0
                                 ввод                                        преобразуется к виду:
                                a, b, ε                                                                            x=ϕ(x).                          (2.3)
      На концах отрезка                                                         Пусть известно начальное приближение корня x0. Подставляя это значение в
      функция имеет разные
      знаки?
                                                                             правую часть уравнения (2.3) получаем новое приближение: х1=ϕ(х0). Далее,
                                                нет                          подставляя каждый раз новое значение корня, получаем последовательность хn+1
                             f(a)*f(b)<0
                                                                             = ϕ (хn), n = 1, 2, ....
                                      да                                        Итерационный           процесс    прекращается,   если   результаты двух
                                                                             последовательных итераций близки:
                                 n: = 0                                                                            ⏐хn+1−хn⏐ ≤ ε.                   (2.4)
                                                                                Достаточным условием сходимости метода простой итерации является
                                                                             выполнение условия
                              c : = (a + b)/2
                                                                                                                    dϕ ( x)                         (2.5)
                                n: = n + 1                                                                                  <1
                                                                                                                     dx
                                                          выбор отрезка,
                                                        содержащего корень   для любого х, принадлежащего отрезку [a, b], который содержит корень.
                    нет                          да                              На рис.6 представлена геометрическая интерпретация метода итераций. При
                              f(a)*f(c)<0                                    начальном приближении х0 последовательность приближений хn сходится к
                                                                             корню х*. В случае выполнения условия (2.5) в качестве начального
         a: = c                                       b: = c                 приближения можно выбрать любую точку интервала [a, b].
                                                                                 Если мы попытаемся уточнить корень х* и выберем в качестве начального
                                                          проверка условия
                                                                             приближения х0, то, как видно из рис.6, последовательность приближений хn (n =
                                                          выхода из цикла    0,1, ) будет расходящейся; расстояние между двумя последовательными
                       нет                                                   приближениями будет возрастать с увеличением числа итераций n.
                              ⎟b – a⎟ ≤ ε                                        Если же процесс расходится, т.е. не выполняется условие (2.5), то уравнение
                                      да                                     f(x)=0 умножаем на константу l и к левой и правой части уравнения прибавляем
                                                                             x, получаем x = x + lf(x). Новая ϕ(x) = x + lf(x). Выберем константу l таким
                               вывод n,                                      образом, чтобы обеспечить выполнение условия (2.5). Положим ϕ '(x)=0.5.
                                c, f(c)                                                                       ϕ '(x) = 1 + lf'(x) = 0.5,
                                                                             отсюда l = − 0 . 5 ,
                                                                                               u
                                Конец                                        где u соответствует max {⏐f '(a)⏐,⏐f '(b)⏐}, т.е. если ⏐f '(a)⏐> ⏐f '(b)⏐ то u = f'(a),
                                                                             иначе u=f '(b) (блок-схема на рис. 4).
Рис.3. Блок-схема метода половинного деления                                     Стоит отметить, что приведенный способ преобразования уравнения
                                                                             справедлив, в основном, для монотонных функций.
                                                                                В блок-схемах: с - начальное приближение корня, а в дальнейшем - результат
                                                                             предыдущей итерации, х - значение корня после каждой итерации.




                                 15                                                                                    16