Геометрические вопросы адаптивной технологии изготовления конструкций намоткой из волокнистых композиционных материалов. Аюшеев Т.В. - 12 стр.

                                                                                                                                                        r
поставлена и решена задача о построении уравнения порции                          Подставляя эти формулы в (1.18), можно выразить r через
                                                                                  r           r       r           r
тела, учитывающая заданные наклоны поперек граничных                              r ( 0 ) , r (1) , r ′ ( 0 ) и r ′ ( 0 ) :
поверхностей. Уравнение такой порции тела может быть
                                                                                  r = r ( g ) = r ( 0 ) (1 − 3g 2 + 2 g 3 ) + r (1) ( 3 g 2 − 2 g 3 ) +
                                                                                  r r              r                               r
выведено путем использования не обобщенной линейной                                                                                                       (1.19)
                                                                                  + r ′ ( 0 ) ( g − 2 g 2 + g 3 ) + r ′ (1) ( − g 2 + g 3 ) .
интерполяции, а обобщенной интерполяции Эрмита.                                     r                               r

1.1.2. Построение модели тела с применением обобщенной                            Введем обозначения:
интерполяции Эрмита                                                                    α 0 ( g ) = 1 − 3g 2 + 2 g 3 ,
                                                                                           α1 ( g ) = 3 g 2 − 2 g 3 ,
      Пусть нам известен точечный каркас порции тела                                                                                                                        (1.20)
(рис. 1.5). Введем кубическую параметризацию для определения                               β0 ( g ) = g − 2 g 2 + g 3 ,
кривых и поверхностей тела. Сегменты кривых описываются                                    β1 ( g ) = − g 2 + g 3 .
уравнениями вида
                      r r           3
                                      r                                           Многочлены (1.20) есть функции Эрмита третьей степени. Вводя
                      r = r ( g ) = ∑ ai g i .        (1.18)                      эти обозначения в уравнение (1.19), получим
                                                                                   r        r                 r                r                   r
                                       i =0
                                                                                  r ( g ) = r ( 0) α0 ( g ) + r (1) α1 ( g ) + r ′ ( 0) β0 ( g ) + r ′ (1) β1 ( g ) . (1.21)
     Можно видеть, что для определения этого сегмента
требуется 4 вектора (или 12 коэффициентов). Обычно для                            Эта формула определяет кубическую интерполяционную
                               r                             r
                                                                    r
                                                                   dr             функцию Эрмита на отрезке [0,1]. Говорят, что параметрическая
определения векторов ai задают значения r и                            на обоих   длина этой кривой равна единице. При этом четыре функции
                                                                   dg             смешения удовлетворяют условиям:
концах сегмента, в которых g = 0 и g = 1 . Между конечными                                 α 0 ( 0 ) = 1, α 0 (1) = 0, α1 ( 0 ) = 0, α1 (1) = 1,
                                        r
                                      dr             r                                     α 0′ ( 0 ) = α 0′ (1) = α1′ ( 0 ) = α1′ (1) = 0,
точками 0 < g < 1 . Обозначая                через r ′ ( g ) , получаем
                                      dg                                                                                                                                    (1.22)
                             r r                                                           β 0 ( 0 ) = β 0 (1) = β1 ( 0 ) = β1 (1) = 0,
                            a0 = r ( 0 ) ,
                             r    r r            r r                                       β 0′ ( 0 ) = 1, β 0′ (1) = 0, β1′ ( 0 ) = 0, β1′ (1) = 1.
                            a0 + a1 + a2 + a3 = r (1) ,
                             r r                                                           Уравнение (1.21) можно записать в компактной форме
                            a1 = r ′ ( 0 ) ,                                               r           1
                                                                                                           r                  r
                             r      r         r r                                          r ( g ) = ∑ r ( i ) Ii 0 ( g ) + rg′ ( i ) Ii1 ( g ) , (1.23)
                            a1 + 2a2 + 3a3 = r ′ (1) .                                                i =0

Отсюда                                                                            где: I 00 ( g ) = α 0 ( g ) , I10 ( g ) = α1 ( g ) , I 01 ( g ) = β 0 ( g ) ,
              r r
              a0 = r ( 0 ) ,                                                      I11 ( g ) = β1 ( g ) .                                                                        (1.24)
              r r
              a1 = r ′ ( 0 ) ,                                                            Используя выражение (1.23), запишем уравнения для
              a2 = 3 ( r (1) − r ( 0 ) ) − 2r ′ ( 0 ) − r ′ (1) ,
              r         r        r              r        r                        граничных кривых (рис. 1.7):
                                                                                                             1
                                                                                           r                      r                            r
              a3 = 2 ( r ( 0 ) − r (1) ) + r ′ ( 0 ) + r ′ (1) .
              r         r         r           r        r                                   r ( u , j , k ) = ∑  r ( i, j , k ) I i 0 ( u ) + ru′ ( i, j , k ) I i1 ( u )  ,
                                                                                                             i =0




                                     23                                                                                           24