ВУЗ:
Составители:
27
( ) ( ) () ( ) ()
( ) ()()()()
1
01
0
1
01
0
,, ,, ,, ,
,, ,, ,, ,
wwjvwj
j
vvkvwk
k
rivk rijkI v r ijkI v
rujk rijkI w r ijkI w
=
=
′′ ′′
=+
′′ ′′
= +
∑
∑
rr r
rr r
,, 0,1.ijk=
Рассмотрим задачу определения поверхности тела при
0w = . Следуя Кунсу, рассмотрим сначала более простую задачу
построения порции поверхности, если заданы только две ее
границы:
(
)
0, , 0rv
r
и
(
)
1, , 0rv
r
. Применяя интерполяцию Эрмита
(1.23) в u-направлении, получим уравнение поверхности
( ) ( ) () ( ) ()
1
101
0
,,0 ,,0 ,,0 ,
iu i
i
ruv riv I u r iv I u
=
′
=
+
∑
rr r
(1.27)
которое интерполирует две граничные кривые
(
)
0, , 0rv
r
,
(
)
1, , 0rv
r
и
имеет заданные наклоны
(
)
0, , 0
u
rv
r
,
(
)
1, , 0
u
rv
r
поперек границ, если
четыре функции смешения удовлетворяют условиям (1.22) .
Точно так же можно построить еще одну поверхность,
которая будет интерполировать две кривые
(
)
,0,0ru
r
и
(
)
,1,0ru
r
в v-направлении:
( ) ( ) () ( ) ()
1
201
0
,,0 ,,0 ,,0 .
jv j
j
ruv ruj I v ruj I v
=
′
=+
∑
rr r
(1.28)
Найдем сумму выражений (1.27) и (1.28). Это даст нам
(
)
(
)
(
)
()()()()
()()()()
1
12
1
01
0
1
01
0
,,0 ,,0 ,,0
,,0 ,,0
,,0 ,,0 .
iu i
i
jv j
j
ruv ruv ruv
riv I u r iv I u
ruj I v r uj I v
=
=
=+=
′
= + +
′
++
∑
∑
rrr
rr
rr
(1.29)
Последовательно подставляя
0,u = 1,u
=
0v
=
и 1v
=
в
выражение (1.29), получим:
()() ()()()()
1
1
01
0
0, ,0 0, ,0 0, ,0 0, ,0 ,
jv j
j
rv rv rjIvrjIv
=
′
=+ +
∑
rr r r
(1.30)
28
()() ()()()()
1
1
01
0
1, , 0 1, , 0 1, , 0 1, , 0 ,
jv j
j
rv rv rjIvrjIv
=
′
=+ +
∑
rr r r
( )( ) ()()()()
( ) ( ) ( ) () ( ) ()
1
1
01
0
1
1
01
0
,0,0 ,0,0 ,0,0 ,0,0 ,
,1, 0 ,1, 0 ,1,0 ,1,0 ,
iu i
i
iu i
i
r u ru ri I u r i I u
ru ru ri I u ri I u
=
=
′
=
+ +
′
=
+ +
∑
∑
rr r r
rr r r
Из (1.30) видно, что сумма выражений
(
)
(
)
12
,,0 ,,0ruv ruv+
rr
не
дает нам нужной поверхности. Чтобы ее получить, необходимо
из этой суммы вычесть дополнительное слагаемое
()
3
,,0ruv
r
.
Выражение для
(
)
3
,,0ruv
r
можно построить с помощью того же
метода интерполяции в обоих направлениях при использовании
только информации об угловых точках.
Построим
(
)
3
,,0ruv
r
. Ее границы, отвечающие 0u = и
1u =
, будут даваться выражениями:
( ) () ( ) ()
()()()()
1
01
0
1
01
0
0, , 0 0, , 0 ,
1, , 0 1, , 0 ,
jv j
j
jv j
j
rjIvr jIv
rjIvr jIv
=
=
′
+
′
+
∑
∑
rr
rr
соответственно, и последующая интерполяция в
u-направлении
даст
( ) () ()()()()
() ()()()()
11
30 0 1
00
11
101
00
,,0 ,,0 ,,0
,,0 ,,0
ijvj
ij
iujuvj
ij
ruv I u rij I v rij I v
Iu rij I v rij I v
==
==
′
=
++
′′′
++
∑∑
∑∑
rrr
rr
или с учетом (1.25) и (1.26)
( ) ()()()()
1
301
0
,,0 ,,0 ,,0 .
iu i
i
ruv riv I u riv I u
=
′
=
+
∑
rr r
Тогда уравнение результирующей поверхности принимает вид
(
)
(
)
(
)
1
3
,,0 ,,0 ,,0ruv r uv r uv
=
−=
rr r
1 1
r r r r r r r
rw′ ( i, v, k ) = ∑ rw′ ( i, j , k ) I j 0 ( v ) + rvw′′ ( i, j , k ) I j1 ( v ) , r 1 (1, v, 0 ) = r (1, v, 0 ) + ∑ r (1, j , 0 ) I j 0 ( v ) + rv′ (1, j , 0 ) I j1 ( v ) ,
j =0 j =0
1 1
r r r r r r r
rv′ ( u , j , k ) = ∑ rv′ ( i, j , k ) I k 0 ( w ) + rvw′′ ( i, j , k ) I k1 ( w ) , r 1 ( u , 0, 0 ) = r ( u , 0, 0 ) + ∑ r ( i, 0, 0 ) I i 0 ( u ) + ru′ ( i, 0, 0 ) I i1 ( u ) ,
k =0 i =0
i, j , k = 0,1. r r r 1
r
r 1 ( u ,1, 0 ) = r ( u ,1, 0 ) + ∑ r ( i,1, 0 ) I i 0 ( u ) + ru′ ( i,1, 0 ) I i1 ( u ) ,
Рассмотрим задачу определения поверхности тела при i =0
w = 0 . Следуя Кунсу, рассмотрим сначала более простую задачу r
Из (1.30) видно, что сумма выражений r1 ( u, v, 0 ) + r2 ( u, v, 0 ) не
r
построения порции поверхности, если заданы только две ее
r r дает нам нужной поверхности. Чтобы ее получить, необходимо
границы: r ( 0, v,0) и r (1, v,0) . Применяя интерполяцию Эрмита r
из этой суммы вычесть дополнительное слагаемое r3 ( u, v, 0 ) .
(1.23) в u-направлении, получим уравнение поверхности r
r 1
r r Выражение для r3 ( u, v, 0 ) можно построить с помощью того же
r1 ( u, v, 0 ) = ∑ r ( i, v, 0 ) I i 0 ( u ) + ru′ ( i, v, 0 ) I i1 ( u ) , (1.27)
i =0
метода интерполяции в обоих направлениях при использовании
r r только информации об угловых точках.
которое интерполирует две граничные кривые r ( 0, v,0) , r (1, v,0) и r
r r Построим r3 ( u, v, 0 ) . Ее границы, отвечающие u = 0 и
имеет заданные наклоны ru ( 0, v,0) , ru (1, v,0) поперек границ, если
u = 1 , будут даваться выражениями:
четыре функции смешения удовлетворяют условиям (1.22) . 1
r r
Точно так же можно построить еще одну поверхность,
r r
∑ r ( 0, j, 0 ) I j 0 ( v ) + rv′ ( 0, j, 0 ) I j1 ( v ) ,
которая будет интерполировать две кривые r ( u,0,0) и r ( u,1,0) j =0
1
r r
в v-направлении:
1
∑ r (1, j, 0 ) I ( v ) + r ′ (1, j, 0 ) I ( v ) ,
j0 v j1
r r r j =0
r2 ( u, v, 0 ) = ∑ r ( u, j, 0 ) I j 0 ( v ) + rv′ ( u, j , 0 ) I j1 ( v ) . (1.28) соответственно, и последующая интерполяция в u-направлении
j =0
даст
Найдем сумму выражений (1.27) и (1.28). Это даст нам
r r r 1 1 r
r 1 ( u, v,0) = r1 ( u, v,0) + r2 ( u, v,0) = r r
r3 ( u , v, 0 ) = ∑ I i 0 ( u ) ∑ r ( i, j , 0 ) I j 0 ( v ) + rv′ ( i, j , 0 ) I j1 ( v ) +
1
r r
i =0 j =0
= ∑ r ( i, v,0) Ii 0 ( u ) + ru′ ( i, v,0) Ii1 ( u ) + (1.29) 1 1 r
r
i =0 + ∑ I i1 ( u ) ∑ ru′ ( i, j , 0 ) I j 0 ( v ) + ruv′′ ( i, j , 0 ) I j1 ( v )
1
r r i =0 j =0
+∑ r ( u, j,0) I j 0 ( v ) + rv′ ( u, j,0) I j1 ( v) .
j =0
или с учетом (1.25) и (1.26)
1
Последовательно подставляя u = 0, u = 1, v = 0 и v = 1 в r r r
r3 ( u , v, 0 ) = ∑ r ( i, v, 0 ) I i 0 ( u ) + ru′ ( i, v, 0 ) I i1 ( u ) .
выражение (1.29), получим: i =0
r r 1
r r Тогда уравнение результирующей поверхности принимает вид
r 1 ( 0, v, 0 ) = r ( 0, v, 0 ) + ∑ r ( 0, j , 0 ) I j 0 ( v ) + rv′ ( 0, j , 0 ) I j1 ( v ) , r r r
j =0
r ( u , v, 0 ) = r 1 ( u , v, 0 ) − r3 ( u , v, 0 ) =
(1.30)
27 28
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- …
- следующая ›
- последняя »
