ВУЗ:
Составители:
33
() ()()()()
( ) ( ) () ( ) ()
() ()()()()
1
01
0
1
01
0
1
01
0
,, ,, ,, ,
,, ,, ,, ,
,, ,, ,, .
uujuvj
j
vviuvi
i
wwjvwj
j
r ivw r i jwI v r i jwI v
rujw rijwI u r ijwI u
ruvk rujkI v r ujkI v
=
=
=
′′ ′′
=+
′′ ′′
= +
′′ ′′
=+
∑
∑
∑
rr r
rr r
rr r
(1.37)
После подставки выражений (1.32), (1.33), (1.37), (1.25) и (1.26) в
уравнение (1.36) и сокращения одинаковых членов получим
() ()()()()
111
000
000
,, ,,
ijk
ijk
ruvw rijkI uI vI w
===
=+
∑∑∑
rr
(1.38)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
()()()()()()()()
()()()()()()()()
()()()()
100 010
001 110
011 101
111
,, ,,
,, ,,
,, ,,
,, ,
uijkvijk
wijkuvijk
uw i j k vw i j k
uvw i j k
r i jk I u I v I w r i jk I u I v I w
rijkI uI vI w r ijkI uI vI w
r i jk I u I v I w r i jk I u I v I w
rijkIuIvIw
′′
++ +
′′′
++ +
′′ ′′
++ +
′′′
+
rr
rr
rr
r
где:
()
(
)
() ()
() ()
() ()
23
00 0
23
10 1
23
01 0
23
11 1
13 2,
32,
2,
.
It t t t
It t t t
It t t t t
It t t t
α
α
β
β
==−+
==−
==−+
==−+
(1.39)
Уравнение (1.38) удобно представить в матричном виде
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
() () ( ) () () ( )
01
01
,,
,
TT
TT
ruvw FuAF v w FuBF v w
FuCF v w FuDF v w
αα
ββ
=++
++
(1.40)
где:
(
)
[
]
0101
(), (), (), ()
F
ttttt
ααββ
=
− матрица-строка, (1.41)
()
[
]
0101
(), (), (), ()
T
T
F
ttttt
ααββ
=
− матрица-столбец,
T – символ транспонирования и
34
()()()()
()() ()()
()()()()
()()()()
0, 0, 0 0,1, 0 0, 0, 0 0,1, 0
1, 0, 0 1, 1, 0 1, 0, 0 1, 1, 0
,
0, 0, 0 0,1, 0 0, 0, 0 0,1, 0
1, 0, 0 1, 1, 0 1, 0, 0 1, 1, 0
vv
vv
uuuvuv
u u uv uv
rrr r
rrr r
A
rrr r
rrr r
′′
′′
=
′ ′ ′′ ′′
′ ′ ′′ ′′
(1.42)
(
)
(
)
(
)
(
)
()() () ()
()()()()
()() () ()
0,0,1 0,1,1 0,0,1 0,1,1
1,0,1 1,1,1 1,0,1 1,1,1
,
0, 0,1 0,1,1 0, 0,1 0,1,1
1,0,1 1,1,1 1,0,1 1,1,1
vv
vv
u u uv uv
u u uv uv
rrr r
rrr r
B
rrr r
rrr r
′′
′′
=
′′′′′′
′′′′′′
(1.43)
(
)
(
)
(
)
(
)
()() () ()
( )() ( ) ()
()() () ()
0, 0, 0 0,1, 0 0, 0, 0 0,1, 0
1,0,0 1,1,0 1,0,0 1,1,0
,
0, 0, 0 0,1, 0 0, 0, 0 0,1, 0
1, 0, 0 1,1, 0 1, 0, 0 1, 1, 0
wwuwuw
wwuwuw
vw vw uvw uvw
vw vw uvw uvw
rrr r
rrr r
C
rrr r
rrr r
′′′′ ′′
′′′′ ′′
=
′′ ′′ ′′′ ′′′
′′ ′′ ′′′ ′′′
(1.44)
(
)
(
)
(
)
(
)
() () () ()
()() () ()
() () () ()
0,0,1 0,1,1 0,0,1 0,1,1
1,0,1 1,1,1 1,0,1 1,1,1
.
0,0,1 0,1,1 0,0,1 0,1,1
1,0,1 1,1,1 1,0,1 1,1,1
w w uw uw
w w uw uw
vw vw uvw uvw
vw vw uvw uvw
rrr r
rrr r
D
rrr r
rrr r
′ ′ ′′ ′′
′ ′ ′′ ′′
=
′′ ′′ ′′′ ′′′
′′ ′′ ′′′ ′′′
(1.45)
Следует заметить, что порция тела (1.40) полностью определена
через векторы r
r
,
u
r
′
r
,
v
r
′
r
,
w
r
′
r
,
uw
r
′
′
r
,
vw
r
′
′
r
,
uv
r
′
′
r
и
uvw
r
′
′′
r
в ее восьми углах,
т.е. через компоненты тензоров A, B, C и D. Если строить
составное тело из таких порций, можно легко обнаружить, что
достигается непрерывность производных поперек границ
порции. В качестве примера рассмотрим границу ui
=
.
Действительно,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
() () ( ) () () ( )
1
0
01
,,
.
TT
uu u
TT
uu
ruvw FuAF v w FuBF v w
FuCF v w FuDF v w
αα
ββ
′
=
++
++
r
Отсюда
() ()()()()
1
01
0
,, ,, ,, ,
uujuvj
j
rivw rijwI v r ijwI v
=
′′ ′′
=+
∑
rr r
где:
r 1
r r r ( 0, 0, 0) r ( 0,1, 0) r ′ ( 0, 0, 0) r ′ ( 0,1, 0)
ru′ ( i, v, w ) = ∑ ru′ ( i, j , w ) I j 0 ( v ) + ruv′′ ( i, j , w ) I j1 ( v ) , v v
j =0
r (1, 0, 0) r (1,1, 0) rv′ (1, 0, 0) rv′ (1,1, 0)
r 1
r r A= , (1.42)
rv′ ( u , j , w ) = ∑ rv′ ( i, j , w ) I i 0 ( u ) + ruv′′ ( i, j , w ) I i1 ( u ) , (1.37) ru′ ( 0, 0, 0) ru′ ( 0,1, 0) ruv′′ ( 0, 0, 0) ruv′′ ( 0,1, 0)
i =0 r ′ (1, 0, 0) r ′ (1,1, 0) r ′′ (1, 0, 0) r ′′ (1,1, 0)
r 1
r r u u uv uv
rw′ ( u , v, k ) = ∑ rw′ ( u , j , k ) I j 0 ( v ) + rvw′′ ( u , j , k ) I j1 ( v ) . r ( 0, 0,1) r ( 0,1,1) rv′ ( 0, 0,1) rv′ ( 0,1,1)
j =0
После подставки выражений (1.32), (1.33), (1.37), (1.25) и (1.26) в r (1, 0,1) r (1,1,1) rv′ (1, 0,1) rv′ (1,1,1)
B= , (1.43)
уравнение (1.36) и сокращения одинаковых членов получим ru′ ( 0, 0,1) ru′ ( 0,1,1) ruv′′ ( 0, 0,1) ruv′′ ( 0,1,1)
ru′ (1, 0,1) ru′ (1,1,1) ruv′′ (1, 0,1) ruv′′ (1,1,1)
1 1 1
r r
r ( u , v, w ) = ∑∑∑ r ( i, j , k ) I i 0 ( u ) I j 0 ( v ) I k 0 ( w ) + (1.38)
r
i =0 j =0 k =0
r rw′ ( 0, 0, 0) rw′ ( 0,1, 0) ruw′′ ( 0, 0, 0) ruw′′ ( 0,1, 0)
+ ru′ ( i, j , k ) I i1 ( u ) I j 0 ( v ) I k 0 ( w ) + rv′ ( i, j , k ) I i 0 ( u ) I j1 ( v ) I k 0 ( w ) + ′
rw (1, 0, 0) rw′ (1,1, 0) ruw′′ (1, 0, 0) ruw′′ (1,1, 0)
r r
+ rw′ ( i, j , k ) I i 0 ( u ) I j 0 ( v ) I k 1 ( w ) + ruv′′ ( i, j , k ) I i1 ( u ) I j1 ( v ) I k 0 ( w ) + C= , (1.44)
rvw′′ ( 0, 0, 0) rvw′′ ( 0,1, 0) ruvw
′′′ ( 0, 0, 0) ruvw
′′′ ( 0,1, 0)
r r
+ ruw′′ ( i, j , k ) I i 0 ( u ) I j1 ( v ) I k1 ( w ) + rvw′′ ( i, j , k ) I i1 ( u ) I j 0 ( v ) I k 1 ( w ) + rvw′′ (1, 0, 0) rvw′′ (1,1, 0) ruvw
′′′ (1, 0, 0) ruvw
′′′ (1,1, 0)
r
′′′ ( i, j , k ) I i1 ( u ) I j1 ( v ) I k1 ( w ) ,
+ ruvw rw′ ( 0, 0,1) rw′ ( 0,1,1) ruw′′ ( 0, 0,1) ruw′′ ( 0,1,1)
′
где: rw (1, 0,1) rw′ (1,1,1) ruw′′ (1, 0,1) ruw′′ (1,1,1)
D= . (1.45)
I 00 ( t ) = α 0 ( t ) = 1 − 3t 2 + 2t 3 , rvw′′ ( 0, 0,1) rvw′′ ( 0,1,1) ruvw
′′′ ( 0, 0,1) ruvw
′′′ ( 0,1,1)
I10 ( t ) = α1 ( t ) = 3t 2 − 2t 3 , rvw′′ (1, 0,1) rvw′′ (1,1,1) ruvw
′′′ (1, 0,1) ruvw
′′′ (1,1,1)
(1.39) Следует заметить, что порция тела (1.40) полностью определена
I 01 ( t ) = β 0 ( t ) = t − 2t 2 + t 3 , r r r r r r r r
через векторы r , ru′ , rv′ , rw′ , ruw′′ , rvw′′ , ruv′′ и ruvw ′′′ в ее восьми углах,
I11 ( t ) = β1 ( t ) = −t 2 + t 3 . т.е. через компоненты тензоров A, B, C и D. Если строить
Уравнение (1.38) удобно представить в матричном виде составное тело из таких порций, можно легко обнаружить, что
r ( u, v, w) = F ( u ) AF T ( v ) α0 ( w) + F ( u ) BF T ( v ) α1 ( w) + достигается непрерывность производных поперек границ
(1.40) порции. В качестве примера рассмотрим границу u = i .
+ F ( u ) CF T ( v ) β0 ( w) + F ( u ) DF T ( v ) β1 ( w) ,
Действительно,
где: r
ru′ ( u, v, w) = Fu ( u ) AF T ( v ) α 0 ( w) + Fu ( u ) BF T ( v ) α1 ( w) +
F ( t ) = [α0 (t ), α1 (t ), β0 (t ), β1 (t )] − матрица-строка, (1.41)
+ Fu ( u ) CF T ( v ) β0 ( w) + Fu ( u ) DF T ( v ) β1 ( w) .
F ( t ) = [α0 (t ), α1 (t ), β0 (t ), β1 (t )] − матрица-столбец,
T T
Отсюда
T – символ транспонирования и r 1
r r
ru′ ( i, v, w) = ∑ ru′ ( i, j, w) I j 0 ( v ) + ruv′′ ( i, j, w) I j1 ( v ) ,
j =0
где:
33 34
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- …
- следующая ›
- последняя »
