Геометрические вопросы адаптивной технологии изготовления конструкций намоткой из волокнистых композиционных материалов. Аюшеев Т.В. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

39
В предыдущем параграфе при описании граничной
поверхности тела был использован метод Кунса. По этому
методу можно построить поверхность только для прямоугольной
(или квадратной) сетки. Чтобы описать поверхность для
непрямоугольной области, необходимо определить
преобразования:
(
)
()
()
,,
,,
,,
kk
kk
ii
s
suv
ttuv
ppvw
=
=
=
()
()
()
,,
,,
,.
ii
jj
jj
ttvw
ppuw
s
suw
=
=
=
которые переводят четырехугольники со сторонами
,
j
k
s
ik
t и
ij
p
в единичные квадраты. Эти преобразования можно определить в
классе бикубических функций, используя уравнение Кунса [63,
64]. Найдем, для примера, преобразование
(
)
00
,
s
suv=
для
граничной поверхности
()
,,0.ruv
r
Так как теперь порция
поверхности произвольная, то при ее построении необходимо
воспользоваться интерполяцией (1.46), но для этого требуется
определить параметрическую длину произвольной
промежуточной s – кривой на порции. Из (1.46) видно, что
u
hs=
, т.е. параметрическая длина кривой равна производной от
старого параметра по-новому. В рассматриваемом случае
необходимо определить
u
s
. В [63] предлагается ввести
следующим образом:
(
)()()
0000101
.
u
vs vs v
αα
=+
(1.47)
Так как
()
0
01
α
=
,
(
)
0
10
α
=
и
()
1
00
α
=
,
(
)
1
11
α
=
, то из (1.47)
следует, что
(
)
000
0
u
s
s
=
и
()
010
1
u
s
s=
, т.е. на границах эта
параметрическая длина совпадает с параметрическими длинами
граничных кривых. Аналогично, если ввести параметрическую
длину произвольной t – кривой на порции, то можно определить,
что
()
(
)()
0000101
.
v
tu t u t u
αα
=+
(1.48)
Формулы (1.47) и (1.48) определяют закон изменения
параметрических длин. Параметрическая длина в направлении s
меняется от
00
s
(на границе
0v =
) до
10
s
(на границе
1v
=
) по
40
закону, определенному (1.47). Аналогично для параметрической
длины в направлении t (1.48).
Таким образом, по аналогии с (1.47) и (1.48), можно
определить остальные преобразования
()
,
ii
p
pvw= ,
(
)
,
ii
ttvw= ,
(
)
,
jj
p
puw= и
(
)
,
jj
s
suw= :
(
)
(
)
(
)
() () ()
() () ()
() () ()
00 11
00 11
00 11
00 11
,
,
,
.
jw j j
iv i i
iw i i
uj j j
pu p u p u
tw t w t w
pv p v p v
s
ws wp w
αα
αα
αα
αα
=+
=+
=+
=+
Построим поверхность
(
)
1
,,0ruv
r
, интерполирующую две
граничные кривые
(
)
0, , 0rv
r
и
(
)
1, , 0rv
r
и имеющую заданные
наклоны
(
)
0, , 0
s
rv
r
и
(
)
1, , 0
s
rv
r
поперек границ порции.
Применяя интерполяцию Эрмита в u-направлении, получим
() ()()()()()
1
1010
0
,,0 ,,0 ,,0 .
is iu
i
ruv riv I u riv I us v
=
′
=
+
∑
rr r
Точно так же построим еще одну поверхность
()
2
,,0ruv
r
,
которая будет интерполировать две кривые
(
)
,0,0ru
r
и
()
,1,0ru
r
с соответствующими наклонами
(
)
,0,0
t
ru
′
r
и
(
)
,1,0
t
ru
′
r
поперек
границ порции
() ()()()()()
1
2010
0
,,0 ,,0 ,,0 .
jt jv
j
ruv ruj I v ruj I vt u
=
′
=+
∑
rr r
Как при выводе (1.36), находим, что
12
rr
+
rr
не дает
требуемой граничной поверхности тела. Чтобы получить ее, мы
должны вычесть дополнительное слагаемое, получаемое с
помощью того же метода интерполяции в обоих направлениях
при использовании информации об угловых точках. Искомое
уравнение имеет вид
( ) ()()()()()
1
010
0
,,0 ,,0 ,,0
is iu
i
ruv riv I u r iv I us v
=
′
=
+ +
∑
rr r
     В предыдущем параграфе при описании граничной                               закону, определенному (1.47). Аналогично для параметрической
поверхности тела был использован метод Кунса. По этому                           длины в направлении t (1.48).
методу можно построить поверхность только для прямоугольной                           Таким образом, по аналогии с (1.47) и (1.48), можно
(или квадратной) сетки. Чтобы описать поверхность для                            определить     остальные      преобразования     pi = pi ( v, w ) ,
непрямоугольной      области,            необходимо    определить
преобразования:                                                                  ti = ti ( v, w ) , p j = p j ( u , w ) и s j = s j ( u , w ) :
                sk = sk ( u , v ) , ti = ti ( v, w ) ,                                                          p jw ( u ) = p0 j α 0 ( u ) + p1 j α1 ( u ) ,
                      tk = t k ( u , v ) ,    p j = p j ( u, w) ,                                              tiv ( w ) = ti 0α 0 ( w ) + ti1α1 ( w ) ,
                      pi = pi ( v, w ) , s j = s j ( u , w ) .                                                  piw ( v ) = pi 0α 0 ( v ) + pi1α1 ( v ) ,
которые переводят четырехугольники со сторонами s jk , tik и pij                                               suj ( w ) = s j 0α 0 ( w ) + p j1α1 ( w ) .
                                                                                                                                r
в единичные квадраты. Эти преобразования можно определить в                            Построим поверхность r1 ( u , v, 0 ) , интерполирующую две
классе бикубических функций, используя уравнение Кунса [63,                                                      r                 r
                                                                                 граничные кривые r ( 0, v, 0 ) и r (1, v, 0 ) и имеющую заданные
64]. Найдем, для примера, преобразование s0 = s0 ( u , v ) для                                 r                         r
                                   r                                             наклоны rs ( 0, v, 0 ) и rs (1, v, 0 ) поперек границ порции.
граничной поверхности r ( u , v, 0 ) . Так как теперь порция
                                                                                 Применяя интерполяцию Эрмита в u-направлении, получим
поверхности произвольная, то при ее построении необходимо                              r                    1
                                                                                                                  r                       r
воспользоваться интерполяцией (1.46), но для этого требуется                           r1 ( u, v, 0 ) = ∑  r ( i, v, 0 ) I i 0 ( u ) + rs′ ( i, v, 0 ) I i1 ( u ) su 0 ( v ) .
определить         параметрическую                   длину   произвольной                                 i =0
                                                                                                                                                                          r
промежуточной s – кривой на порции. Из (1.46) видно, что                               Точно так же построим еще одну поверхность r2 ( u , v, 0 ) ,
h = su , т.е. параметрическая длина кривой равна производной от                                                                                        r                    r
                                                                                 которая будет интерполировать две кривые r ( u , 0, 0 ) и r ( u ,1, 0 )
старого параметра по-новому. В рассматриваемом случае                                                                                  r                    r
                                                                                 с соответствующими наклонами rt ′( u , 0, 0 ) и rt ′( u ,1, 0 ) поперек
необходимо определить su . В [63] предлагается ввести
                                                                                 границ порции
следующим образом:                                                                                          1
                                                                                       r                          r                        r
                   su 0 ( v ) = s00α 0 ( v ) + s10α1 ( v ) .        (1.47)             r2 ( u, v, 0 ) = ∑  r ( u, j, 0 ) I j 0 ( v ) + rt ′( u, j, 0 ) I j1 ( v ) tv 0 ( u ) .
                                                                                                          j =0
Так как α 0 ( 0 ) = 1 , α 0 (1) = 0 и α1 ( 0 ) = 0 , α1 (1) = 1 , то из (1.47)                                                                                  r r
                                                                                       Как при выводе (1.36), находим, что r1 + r2 не дает
следует, что su 0 ( 0 ) = s00 и su 0 (1) = s10 , т.е. на границах эта            требуемой граничной поверхности тела. Чтобы получить ее, мы
параметрическая длина совпадает с параметрическими длинами                       должны вычесть дополнительное слагаемое, получаемое с
граничных кривых. Аналогично, если ввести параметрическую                        помощью того же метода интерполяции в обоих направлениях
длину произвольной t – кривой на порции, то можно определить,                    при использовании информации об угловых точках. Искомое
что                                                                              уравнение имеет вид
          tv 0 ( u ) = t00α 0 ( u ) + t10α1 ( u ) .     (1.48)                            r                    1
                                                                                                                    r                       r
                                                                                          r ( u , v, 0 ) = ∑  r ( i, v, 0 ) I i 0 ( u ) + rs′ ( i, v, 0 ) I i1 ( u ) su 0 ( v )  +
Формулы (1.47) и (1.48) определяют закон изменения                                                            i =0
параметрических длин. Параметрическая длина в направлении s
меняется от s00 (на границе v = 0 ) до s10 (на границе v = 1 ) по

                                             39                                                                                  40

Страницы