ВУЗ:
Составители:
89
разработанной модели рассмотрим оболочку, получаемую с
помощью оправки, имеющей форму эллиптического
параболоида. Уравнение эллиптического параболоида запишем в
векторно-параметрической форме
()
(
)
(
)
{
}
22
,cos,sin,r z az bz c p az bz c z
ϕϕϕ
=++ ++
r
, (2.24)
где
ρ
,
ϕ
, z – обобщенные цилиндрические координаты и ось Oz
является осью симметрии эллиптического параболоида. Такая
форма аналитического задания поверхности позволяет нам
получать кроме эллиптического параболоида различные
поверхности второго порядка. Если
0,a = 0,b
≠
0,c
≠
1,p
≠
то
получается эллиптический конус. Если
0,a
=
0,b
=
0,c
≠
1,p
≠
то эллиптический цилиндр. В каждом из этих случаев при 1
p
=
получаются параболоид вращения, круговой конус, круговой
цилиндр, соответственно.
Производные по параметрам векторной функции (2.24)
имеют следующий вид:
()
(
)
(
)
{
}
()() ()
{}
()
()()
{}
(){ }
()()()
{}
22
22
,sin,cos,0,
,2 cos,2 sin,1,
,cos,sin,0,
,2cos,2sin,0,
,2 sin,2cos,0.
z
zz
z
r z az bz c p az bz c
rz azbp azb
r z az bz c p az bz c
rz ap a
r z az b p az b
ϕ
ϕϕ
ϕ
φϕϕ
φϕϕ
φϕϕ
φϕϕ
φϕϕ
′
=− ++ ++
′
=+ +
′′
=− + + − + +
′′
=
′′
=− + +
r
r
r
r
r
(2.25)
Исходя из выражения производных (2.25) функции
()
,rz
ϕ
r
, найдем коэффициенты первой квадратичной формы
(2.3) для эллиптического параболоида:
(
)
(
)
(
)
()
()
()
()
()( )
()
2
22 2 2
11
2
22
12
2
22 2
22
,sincos ,
,cossin 12 ,
,2 cossin1.
z
zz
grr p azbzc
g
rr p az b az bz c
grr azbp
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
′′
== + ++
′′
==− −+++
′′
==+ + +
rr
rr
rr
(2.26)
Тогда имеем:
90
(
)
()
(
)
(
)
222222
41cos1,az bz c ap z az b p b p
σϕ
=++ ++ +− −
(2.27)
и
()( )
()()
()
()()
()
()
()( )
()
()
()
()
2
22
11
22 2 2
11
22 2
12
222 2
12
2
2
22
22 2
22
21 cossin,
2sin cos 2 ,
2cos 1 1 2 ,
16 6 2 cossin,
212 cossin,
42 cos sin .
g
pazbzc
g
pazbzcazb
z
g
p
az b az bz c
g
pazazbacb
z
g
pazb
g
aazbp
z
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
∂
=− ++
∂
∂
=+ +++
∂
∂
=− − − + + +
∂
∂
=− − + + +
∂
∂
=− − +
∂
∂
=+ +
∂
(2.28)
Используя (2.26)-(2.28), по формулам (2.18) получаем
следующие выражения для символов Кристоффеля
рассматриваемой поверхности:
(
)
()
() ( )
2
1
11
22222
1
12
2
1sin cos
,
41cos1
2
,
p
ap z az b p b p
az b
az bz c
ϕϕ
ϕ
−
Γ=
++ +− −
+
Γ=
+
+
(2.29)
(
)
()
()
() ()
()
()
()
() ()
2
1
22
222222
22
2
11
22222
2
12
21sincos
,
41cos1
2
,
41cos1
0,
ap
az bz c ap z az b p b p
pazbazbzc
ap z az b p b p
ϕϕ
ϕ
ϕ
−−
Γ=
++ ++ +− −
−+++
Γ=
++ +− −
Γ=
σ = ( az 2 + bz + c ) 4ap 2 z ( az + b ) + p 2 ( b 2 + 1) − cos 2 ϕ ( p 2 − 1) ,
разработанной модели рассмотрим оболочку, получаемую с
помощью оправки, имеющей форму эллиптического
параболоида. Уравнение эллиптического параболоида запишем в (2.27)
векторно-параметрической форме и
{ }
r (ϕ , z ) = ( az 2 + bz + c ) p cos ϕ , ( az 2 + bz + c ) sin ϕ , z ,
r
(2.24) ∂g11
= 2 ( p 2 − 1)( az 2 + bz + c ) cos ϕ sin ϕ ,
2
∂ϕ
где ρ, ϕ, z – обобщенные цилиндрические координаты и ось Oz
∂g11
является осью симметрии эллиптического параболоида. Такая = 2 ( p 2 sin 2 ϕ + cos 2 ϕ )( az 2 + bz + c ) ( 2az + b ) ,
форма аналитического задания поверхности позволяет нам ∂z
получать кроме эллиптического параболоида различные ∂g12
поверхности второго порядка. Если a = 0, b ≠ 0, c ≠ 0, p ≠ 1, то = − ( 2 cos 2 ϕ − 1)( p 2 − 1) ( 2az + b ) ( az 2 + bz + c ) ,
∂ϕ
получается эллиптический конус. Если a = 0, b = 0, c ≠ 0, p ≠ 1, (2.28)
∂g12
то эллиптический цилиндр. В каждом из этих случаев при p = 1 = − ( p − 1)( 6a z + 6azb + 2ac + b ) cos ϕ sin ϕ ,
2 2 2 2
∂z
получаются параболоид вращения, круговой конус, круговой ∂g 22
= −2 ( p 2 − 1) ( 2az + b ) cos ϕ sin ϕ ,
2
цилиндр, соответственно.
Производные по параметрам векторной функции (2.24) ∂ϕ
имеют следующий вид: ∂g 22
= 4a ( 2az + b ) ( p 2 cos 2 ϕ + sin 2 ϕ ) .
{ }
rϕ′ (φ , z ) = − ( az 2 + bz + c ) p sin ϕ , ( az 2 + bz + c ) cos ϕ , 0 ,
r
∂z
Используя (2.26)-(2.28), по формулам (2.18) получаем
rz′ (φ , z ) = {( 2az + b ) p cos ϕ , ( 2az + b ) sin ϕ ,1} ,
r
следующие выражения для символов Кристоффеля
r
{ }
rϕϕ′′ (φ , z ) = − ( az 2 + bz + c ) p cos ϕ , − ( az 2 + bz + c ) sin ϕ , 0 , (2.25)
рассматриваемой поверхности:
( p 2 − 1) sin ϕ cos ϕ
r
rzz′′ (φ , z ) = {2ap cos ϕ , 2a sin ϕ , 0} , Γ111 = ,
4ap 2 z ( az + b ) + p 2 ( b 2 + 1) − cos 2 ϕ ( p 2 − 1) (2.29)
rϕ′′z (φ , z ) = {− ( 2az + b ) p sin ϕ , ( 2az + b ) cos ϕ , 0} .
r
2az + b
Исходя из выражения производных (2.25) функции Γ112 = ,
r az 2 + bz + c
r (ϕ , z ) , найдем коэффициенты первой квадратичной формы
−2a ( p 2 − 1) sin ϕ cos ϕ
(2.3) для эллиптического параболоида: Γ =
1
,
( az + bz + c ) 4ap 2 z ( az + b ) + p 2 ( b 2 + 1) − cos 2 ϕ ( p 2 − 1)
22
g11 = ( rϕ′ , rϕ′ ) = ( p 2 sin 2 ϕ + cos 2 ϕ )( az 2 + bz + c ) ,
r r 2 2
− p 2 ( 2az + b ) ( az 2 + bz + c )
g12 = ( rϕ′ , rz′ ) = − cos ϕ sin ϕ ( p 2 − 1) ( 2az + b ) ( az 2 + bz + c ) , (2.26)
r r 2
Γ11
2
= ,
4ap 2 z ( az + b ) + p 2 ( b 2 + 1) − cos 2 ϕ ( p 2 − 1)
g 22 = ( rz′, rz′ ) = ( 2az + b ) ( p 2 cos 2 ϕ + sin 2 ϕ ) + 1.
r r 2
Γ12
2
= 0,
Тогда имеем:
89 90
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- …
- следующая ›
- последняя »
