Геометрические вопросы адаптивной технологии изготовления конструкций намоткой из волокнистых композиционных материалов. Аюшеев Т.В. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

91
(
)
()
() ( )
2
2
22
22222
22
.
41cos1
ap az b
ap z az b p b p
ϕ
+
Γ=
++ +− −
Кривой намотки в нашем случае является геодезическая
линия. Поэтому функции
()
k
s
ϕ
,
()
k
zs, задающие эту кривую,
где s – длина дуги вдоль кривой, удовлетворяют системе
дифференциальных уравнений (2.17), принимающей в данном
случае вид:
(
)
()
() ( )
2
2
2
22222
1sin cos
41cos1
k k
p
dd
ds ds
ap z az b p b p
ϕϕ
ϕϕ
ϕ
−−

=−

++ +− −

2
2
2
kk
ddz
az b
ds ds
az bz c
ϕ
+
−+
++
(2.30)
()
()
()
() ( )
2
2
222222
21sincos
,
41cos1
k
dz
ap
ds
az bz c ap z az b p b p
ϕϕ
ϕ

−


+
++ ++ +− −
(
)
(
)
()
() ( )
()
()
() ()
22
2
2
22222
2
2
22222
2
41cos1
22
.
41cos1
k k
k
pazbazbzc
dz d
ds ds
ap z az b p b p
ap az b
dz
ds
ap z az b p b p
ϕ
ϕ
ϕ
+++

=−

++ +− −

+

−

++ +− −

Приведем эту систему уравнений к нормальному виду с
помощью двух новых неизвестных функций
d
l
ds
ϕ
Γ
= ,
dz
q
ds
= .
Тогда система уравнений (2.30) примет следующий вид:
d
l
ds
ϕ
Γ
= ,
dz
q
ds
Γ
= ,
(
)
()
() ( )
2
2
22222
1sin cos
41cos1
p
dl
l
ds
ap z az b p b p
ϕϕ
ϕ
−−
=−
++ +− −
92
2
2
2
az b
lq
az bz c
+
−+
++
(2.31)
(
)
()
()
() ( )
22
222222
21sincos
,
41cos1
ap q
az bz c ap z az b p b p
ϕϕ
ϕ
−
+
++ ++ +− −
(
)
(
)
()
() ( )
()
()
() ( )
22
2
22222
2
2
22222
2
41cos1
22
.
41cos1
p az b az bz c
dq
l
ds
ap z az b p b p
ap az b
q
ap z az b p b p
ϕ
ϕ
+++
=
−
++ +− −
+
−
++ +− −
Полученная система уравнений (2.31) решается численно
методом Рунге-Кутта.
Начальные условия для системы дифференциальных
уравнений (2.30) при построении кривой намотки в данном
случае принимают вид:
(
)
0
0,
kk
ϕ
ϕ
=
()
0
0,
kk
zz=
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
2
22 2
0000
2
00
2
00 0
2
22 2
000
2
22
00 0 0 0 0
2
00
2cossin1sin
0
,
cos
0
2cossin1
cos sin 1 2 sin
kkkk
k
kk
kk k
k
kkk
kk k k k k
kk
az b p
d
ds
az bz c D
az bz c D
dz
ds
az b p
pazbazbzc
az bz c D
ϕϕ β
ϕ
β
ϕϕ
ϕ
ϕβ
+++
=
++
++ +
=
+++
+ −+++
++
где
()
(
)
(
)
22222
00 0
41cos1
kk k
Dapzazbpb p
ϕ
=
++ +− −.
При получении геодезических параллелей также решалась
система (2.30) для построения перпендикулярных кривой
намотки геодезических линий. Начальные условия (2.19) для
системы (2.30) в этом случае имеют вид:
(
)
(
)
0,
k
t
ϕϕ
Γ
= 
                             2ap 2 ( 2az + b )                                         −2
                                                                                                 2az + b
                                                                                                             lq +                                                                                                           (2.31)
Γ 222 =                                                              .
          4ap 2 z ( az + b ) + p 2 ( b 2 + 1) − cos 2 ϕ ( p 2 − 1)                             az 2 + bz + c
        Кривой намотки в нашем случае является геодезическая                                                               2a ( p 2 − 1) sin ϕ cos ϕ q 2
                                                                                       +                                                                                                                                    ,
линия. Поэтому функции ϕ k ( s ) , zk ( s ) , задающие эту кривую,                         ( az
                                                                                            + bz + c )  4ap 2 z ( az + b ) + p 2 ( b 2 + 1) − cos 2 ϕ ( p 2 − 1) 
                                                                                                  2



                                                                                                     p 2 ( 2az + b ) ( az 2 + bz + c )
где s – длина дуги вдоль кривой, удовлетворяют системе
дифференциальных уравнений (2.17), принимающей в данном                                dq
                                                                                          =                                                         l2 −
случае вид:                                                                            ds 4ap z ( az + b ) + p ( b + 1) − cos ϕ ( p − 1)
                                                                                               2                   2   2              2      2


 d 2ϕ k                  − ( p 2 − 1) sin ϕ cos ϕ                   dϕk 
                                                                           2
                                                                                                                   2ap 2 ( 2az + b )
        =                                                                −           −                                                                                                      q2 .
  ds      4ap 2 z ( az + b ) + p 2 ( b 2 + 1) − cos 2 ϕ ( p 2 − 1)  ds                   4ap 2 z ( az + b ) + p 2 ( b 2 + 1) − cos 2 ϕ ( p 2 − 1)
       2az + b d ϕk dzk                                                                Полученная система уравнений (2.31) решается численно
−2                       +                                                    (2.30)
     az 2 + bz + c ds ds                                                               методом Рунге-Кутта.
                                                   dz 
                                                            2                                  Начальные условия для системы дифференциальных
                      2a ( p 2 − 1) sin ϕ cos ϕ  k                                   уравнений (2.30) при построении кривой намотки в данном
+                                                  ds                        ,       случае принимают вид:
  ( az 2 + bz + c ) 4ap 2 z ( az + b ) + p 2 ( b2 + 1) − cos2 ϕ ( p 2 − 1)         ϕk ( 0 ) = ϕk 0 ,
d 2 zk               p 2 ( 2az + b ) ( az 2 + bz + c )             dϕk 
                                                                          2            zk ( 0 ) = zk 0 ,
       =                                                                −
         4ap 2 z ( az + b ) + p 2 ( b 2 + 1) − cos 2 ϕ ( p 2 − 1)  ds                                          ( p cos ϕ + sin ϕ ) + 1 sin β
                                                                                                           ( 2azk 0 + b )
                                                                                                                                 2
 ds                                                                                    d ϕk ( 0 )
                                                                                                                                              2            2
                                                                                                                                                                   k0
                                                                                                                                                                                     2
                                                                                                                                                                                         k0                       k0
                                                                                                 =                                              ,
−
                       2ap   2
                                 ( 2az + b )        dzk 
                                                                         2
                                                                                           ds                    ( az + bz + c ) D                k0
                                                                                                                                                       2
                                                                                                                                                                    k0
                                                         .
    4ap z ( az + b ) + p ( b + 1) − cos ϕ ( p − 1)  ds 
          2                 2      2            2     2
                                                                                        dz ( 0 )        ( az + bz + c ) D cos β +
                                                                                                                            2
                                                                                           k                           k0                 k0                                     k0
      Приведем эту систему уравнений к нормальному виду с                                        =
                                                                                          ds       ( 2az + b ) ( p cos ϕ + sin ϕ ) + 1
                                                                                                                                2             2            2                         2
                                                     dϕ   dz                                                      k0                                               k0                    k0
помощью двух новых неизвестных функций l = Γ , q = Γ .
                                                                                        + cos ϕ sin ϕ ( p − 1) ( 2az + b ) ( az + bz + c ) sin β
                                                                                                                                                                                                          2
                                                       ds ds                                                           2                                                         2
                                                                                                      k0     k0                                    k0                       k0                k0                       k0
Тогда система уравнений (2.30) примет следующий вид:
    dϕ
l= Γ ,
                                                                                                             ( az + bz + c ) D       k0
                                                                                                                                          2
                                                                                                                                                           k0

     ds
                                                                                       где D = 4ap z ( az + b ) + p ( b + 1) − cos ϕ ( p − 1) .
                                                                                                             2
                                                                                                                  k0            k0
                                                                                                                                                               2        2                      2
                                                                                                                                                                                                     k0
                                                                                                                                                                                                              2
     dzΓ
q=       ,                                                                                    При получении геодезических параллелей также решалась
     ds
                                                                                       система (2.30) для построения перпендикулярных кривой
 dl             − ( p 2 − 1) sin ϕ cos ϕ                                               намотки геодезических линий. Начальные условия (2.19) для
    =                                             l2 −
ds 4ap z ( az + b ) + p ( b + 1) − cos ϕ ( p − 1)
           2            2    2           2  2
                                                                                       системы (2.30) в этом случае имеют вид:
                                                                                       ϕΓ ( 0 ) = ϕk ( t ) ,

                                               91                                                                                                              92

Страницы