Теория колебаний. Аверина Л.И - 10 стр.

                                    10

                                             1  1  1
частота контура; ωt =τ безразмерное время;     = + , Ro эквивалентное
                                             Ro Ri R
                               1 R
сопротивление нагрузки; Q = = o =ωCR o =R o C / L добротность кон-
                               d ωL
тура; K =SR o коэффициент усиления; k ос =M / L коэффициент обратной
связи.
       Теперь запишем уравнение в новых обозначениях:
        d 2 U (1 −Kk ос ) dU                   d2U       dU
             +               + U  =0    или          + a    +U =0    (5)
        dτ2       Q       dτ                   dτ2       dτ
где a=(1-Kkос)/Q ; произведение Kkос =Р называется запасом усиления. Чем
больше Р, тем быстрее нарастают колебания, тем меньше зависит амплитуда
колебаний от нагрузки. Уравнение (5) есть обычное дифференциальное урав-
нение с постоянными коэффициентами. Поэтому нетрудно записать решение
этого уравнения
                          U =(C1 cos ητ +C 2 sin ητ) exp(−aτ/ 2)
где η = 1 −a 2 - безразмерная частота генерируемых колебаний. Легко ви-
деть, что колебания возникнут только при условии, что Kkос>1 (6).
      Это условие есть условие самовозбуждения колебаний. Условие (б)
также называют "балансом амплитуд". Суть его в следующем. Допустим,
что мы подали на вход транзистора переменное напряжение. Транзистор
усиливает это напряжение в К раз. Затем через цепь обратной связи часть
этого напряжения, уменьшенная в kос раз, возвращается на вход транзистора.
Если это напряжение больше исходного, то колебания с каждым новым цик-
лом будут нарастать. Если же меньше, то - они будут уменьшаться до нуля.
При равенстве Kkос=1 амплитуда колебаний будет оставаться неизменной.
Условие (6) можно интерпретировать иначе, если записать его в другой фор-
ме
                                   L
                              M>       =M KP
                                  R oS
      Если коэффициент связи М больше некоторой критической величины
МКР, то в автогенераторе возникнут автоколебания. В противном случае ав-
токолебания невозможны.
      Для того чтобы получить решение, амплитуда которого при опреде-
ленных условиях может нарастать во времени, мы выбрали в уравнении (5)
знак "-", что соответствует противофазному включению катушек L и LCB ,
т.е. положительной обратной связи. Заметим, что транзистор меняет фазу
усиленного напряжения на 180° и противофазное включение катушек допол-
нительно меняет фазу ещё на 180°. В результате напряжение, поданное на за-
твор из цепи обратной связи, и исходное напряжение оказываются в фазе.
Если бы мы выбрали знак "+", то колебания не возникли, поскольку kос имел
бы отрицательный знак и a=l+Kkос>0. Выбор знака обратной связи (поло-
жительная или отрицательная) отражает условие "баланса фаз" в автогене-
раторе. Условие баланса фаз формулируется следующим образом: суммар-