Теория колебаний. Аверина Л.И - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

12
Рис.3
Для получения укороченных уравнений воспользуемся методом Ван
дер Поля. Для этого перепишем уравнение с учетом аппроксимации.
τ
−+ω−−=+
τ
d
dU
)]US3US2S(M
Q
1
[U
d
Ud
2
321
2
2
(8)
Метод Ван дер Поля применим к уравнению, если правая часть уравнения по
максимальному значению значительно меньше любого слагаемого левой
части.
]Umax[}
d
dU
)]US3US2S(M
Q
1
max{[
2
321
<<
τ
−+ω−
Будем искать решение уравнения (8) в виде
Φτ=τ
ϕ
+ττ=
cos)(A)](cos[)(AU
где: А(
τ
) и
ϕ(τ)
- медленно меняющиеся амплитуда и фаза гармонического
колебания
Найдем первую и вторую производные в
первом приближении.
...cos
d
d
A2sin
d
dA
2cosA
d
Ud
sin
d
d
Acos
d
dA
sinA
d
dU
2
2
+Φ
τ
ϕ
−Φ
τ
−Φ−=
τ
Φ
τ
ϕ
−Φ
τ
+Φ−=
τ
Здесь мы не стали выписывать члены третьего и более высоких поряд-
ков малости. Преобразуем левую и правую части уравнения (8).
Левая часть
. Она имеет, как легко видеть, стандартную форму.
...cos
d
d
A2sin
d
dA
2
=Φ
τ
ϕ
−Φ
τ
−
Правая часть.
Теперь преобразуем правую часть. Поскольку левая
часть имеет первый порядок малости, а правая часть имеет тот же порядок
величины, мы будем подставлять в правую часть только производные и
функцию в нулевом приближении. Учет членов первого порядка малости 
                                   12




                                       Рис.3
      Для получения укороченных уравнений воспользуемся методом Ван
дер Поля. Для этого перепишем уравнение с учетом аппроксимации.
            d2U            1                           2 dU
                  +U = − [   − ωM ( S1 + 2S 2 U −3S3 U  )]    (8)
             dτ2           Q                               dτ
Метод Ван дер Поля применим к уравнению, если правая часть уравнения по
максимальному значению значительно меньше любого слагаемого левой
части.
                         1                               dU
                   max{[ −ωM(S1 +2S2 U −3S3 U 2 )] } <

Страницы