Вычислительный эксперимент в аэродинамике вентиляции. Аверкова О.А. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БГТУ им. Шухова | Белгород

Составители: 

Рубрика: 

7
Пусть многосвязная область течения ограничена контуром S, на ко-
тором задана нормальная составляющая скорости – v
n
(x
0
), где x
0
∈S. Бу-
дем полагать, что по границе непрерывно распределены источники
(стоки) неизвестной заранее интенсивности q(
ξ
). Влияние всех этих ис-
точников (стоков) на внутреннюю точку x области течения определится
интегральным уравнением:
( ) ( , ) ( ) ( ),
n
S
v x F x q dS
ξ ξ ξ
=
∫
где
( )
n
v x
− величина скорости в точке
1 2
( , )
x x x
вдоль направления
1 2
,
n n n
=
;
1 1 1 2 2 2
2 2
1 1 2 2
( ) ( )
( , )
2 ( ) ( )
n x n x
F x
x x
ξ ξ
ξ
π ξ ξ
− + −
=
− + −
;
dS(ξ) − обозначает, что переменной интегрирования является ξ.
Для того чтобы определить неизвестную величину интенсивности
q(ξ), устремим точку x(x
1
, x
2
) к точке x
0
границы S в направлении еди-
ничного вектора внешней нормали
n
. Тогда
n 0 0
( ) ( ) ( , ) ( )
S
v x q F x dS
ξ ξ ξ
=
∫
,
где интеграл является интегралом в смысле главного значения, так как
функция
0
( , )
F x
ξ
неограниченно возрастает при стремлении x
0
к ξ.
Для того чтобы избавиться от этой особенности, окружим точку ξ
(рис.1) полуокружностью радиуса
0
ε
→
.
Тогда интеграл в предыдущей формуле можно представить в виде
суммы двух интегралов:
S S S S
ε ε
−
= +
∫ ∫ ∫
, 
                                                   7

   ����� ������������ ������� ������� ���������� �������� S, �� ��-
����� ������ ���������� ������������ �������� – vn(x0), ��� x0∈S. ��-
��� ��������, ��� �� ������� ���������� ������������ ���������
(�����) ����������� ������� ������������� q(ξ). ������� ���� ���� ��-
�������� (������) �� ���������� ����� x ������� ������� �����������
������������ ����������:

                            vn ( x) = � F ( x, ξ )q(ξ )dS (ξ ),
                                             S




��� vn ( x) − �������� �������� � ����� x( x1 , x2 ) ����� �����������
 �
n = {n1 , n2 } ;



                                 n1 ( x1 − ξ1 ) + n2 ( x2 − ξ 2 )
                 F ( x, ξ ) =                                           ;
                                2π �� ( x1 − ξ1 ) 2 + ( x2 − ξ 2 ) 2 ��


dS(ξ) − ����������, ��� ���������� �������������� �������� ξ.
   ��� ���� ����� ���������� ����������� �������� �������������
q(ξ), �������� ����� x(x1, x2) � ����� x0 ������� S � ����������� ���-
                                     �
������� ������� ������� ������� n . �����

                        vn ( x0 ) = � q (ξ ) F ( x 0 , ξ )dS (ξ ) ,
                                         S


��� �������� �������� ���������� � ������ �������� ��������, ��� ���
������� F ( x0 , ξ ) ������������� ���������� ��� ���������� x0 � ξ.
��� ���� ����� ���������� �� ���� �����������, ������� ����� ξ
(���.1) ��������������� ������� ε → 0 .
   ����� �������� � ���������� ������� ����� ����������� � ����
����� ���� ����������:



                                     �= � +�
                                     S           S − Sε   Sε
                                                               ,

Страницы